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Aufgabe:

Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Zeigen Sie , dass für eine lineare Abbildung f: V → Vmit f◦f=f die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) f ist symmetrisch, d. h.〈v,f(w)〉=〈f(v),w〉für alle v,w∈V.

(ii) kern f und bild f sind orthogonal.


Problem/Ansatz:

(i) f ist symmetrisch, d. h.〈v,f(w)〉=〈f(v),w〉für alle v,w∈V.

Zu zeigen ist: (Bild f)=Kern f

Sei f symmetrisch, d.h. <v, f(w)> = <f(v),w> für alle v,w ∈V.

"⊇" Sei v ∈Kern f , dann gilt f(v)=0. Ebenso gilt für alle w ∈V : <f(v), w> =0

Nach Vorraussetzung (i) folgt: <v, f(w)>=0 für alle w∈V, d. h. v∈ (bild f)

"⊆" Sei v∈ (bild f). Dann gilt: <v,f(w)>=0 für alle w∈V.

Nach Vorraussetzung (i) folgt: < f(v), w>=0 für alle w∈V.

Somit ist f(v)=0, d.h. v∈ Kern f

q.e.d

(ii) kern f und bild f sind orthogonal.

Sei v, w ∈ V Dann gelten folgende Äquvialenzen

<v,f(w)>=f(v),w>⇔<v,f(w)>-<f(v),w>=0

f(v)-v :=f(v)=0

f(v)=f(f(v)

d.h. f(f(v))-f(v)=0        f(v)-v ∈ kern f für alle v∈V   <f(v)-v, f(w)>=0 für alle v,w ∈V

d.h. f(f(v)-v) =0

<f(v),f(w)>-<v,f(w)>=0

tatsächlich gilt: <v, f(w)>=f(w),f(v)

=<w,f(v)> = <f(v), w>

q.e.d


Bei dieser Aufgabe hab ich mich besonders schwer getan bei (ii) ich bin mir auch nciht sicher ob das stimmt, über euere Meinung bin ich sehr dankbar und Verbesserungen nehm ich gerne an.

vor von
für eine lineare Abbildung f: V → Vmit f◦f=f

Diese Abbildungen nennt man Projektionen. Begriff kannst du nachschlagen oder in den "ähnlichen Fragen" finden. Hoffe, dass das schon mal weiterhilft.

Danke das hab ich jetzt mal bei Wiki nach geschaut. Was sagst du denn zu meiner Lösung?

1 Antwort

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Beste Antwort

Zu zeigen ist: (Bild f)⊥=Kern f

Sei f symmetrisch, d.h. <v, f(w)> = <f(v),w> für alle v,w ∈V.

"⊇" Sei v ∈Kern f , dann gilt f(v)=0.    stimmt.

Den Rest würde ich etwas genauer ausführen.

Vielleicht  so:

Dann gilt für alle w ∈V : <f(v), w> =0

Denn es ist  <f(v), w> = <0,w> = 0 .

Nach Voraussetzung (i) folgt: <v, f(w)>=0 für alle w∈V.

Da es für jedes El. y aus bild f ein w ∈ V  gibt mit f(w)=y

gilt damit für alle y ∈ bild f    < v,y> = 0 also

v∈ (bild f)

"⊆" Sei v∈ (bild f). Dann gilt:

     <v,f(w)>=0 für alle w∈V.

Nach Voraussetzung (i) folgt: < f(v), w>=0 für alle w∈V.

Somit ist f(v) ∈ V= {0} , d.h. v∈ Kern f.

q.e.d

(ii) kern f und bild f sind orthogonal.

[ Das würde ich etwas anders machen.]

Seien v ∈ kern f und  w ∈ bild f .

Zu zeigen:  < v,u> = 0 .

Es  gilt: f(v) = 0 und  es gibt ein u  ∈ V mit f(u)=w.

also auch   f(w)=   f(f(u)) und wegen fof=f

dann auch   f(w)=f(u) = w .

==>  < v,w> = < v,f(u) > = < f(v) , u > = < 0 , u > = 0 
q.e.d

vor von 162 k

Super vielen Dank dann war meins also nicht verkehrt aber an der einen oder anderen Stelle vielleicht nicht exakt genug.

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