Question

Sei U eine Untergruppe der Menge aller Bijektionen einer Menge M auf sich. Eine Relation
auf M sei wie folgt erklärt: x ∼ y genau dann, wenn es eine Abbildung f ∈ U mit f(x) = y
gibt.
(a) Zeigen Sie, dass x∼y eine Aquivalenzrelation ist. (Die Aquivalenzklassen werden Orbits von
U in M genannt)
(b) Bestimmen Sie die Orbits der Untergruppen aus Aufgabe 2 in der Ebene R²

Könnte mit hierbei jemand behilflich sein?

Answer 1

Reflexivität:

Sei $x \in M$. Warum gilt $x \sim x$? Dafür muss es ja eine Abbildung $f \in U$ mit $f(x) = x$ geben? Wie sieht es mit der Identität auf $M$ aus? Ist die vielleicht in $U$?

Symmetrie:

Seien $x,y \in M$ mit $x \sim y$, dann existiert ein $f \in U$ mit $f(x) = y$. Wir möchten zeigen, dass dann auch $y\sim x$ gilt, suchen also eine Abbildung $g \in U$ mit $g(y) = x$. Können wir für $g$ vielleicht einfach die Umkehrabbildung von $f$ wählen?

Transitivität:

Seien $x,y,z \in M$ mit $x\sim y$ und $y\sim z$. Zu zeigen ist, dass dann auch $x\sim z$ gilt. Da $x\sim y$ existiert ein $f \in U$ mit $f(x) = y$, da $y\sim z$ existiert ein $g \in U$ mit $g(y) = z$. Was ist $g(f(x))$?. Was kannst du daraus folgern?

Für den Rest müsste man natürlich Aufgabe 2 kennen...