Question

Sei U eine Untergruppe der Menge aller Bijektionen einer Menge M auf sich. Eine Relation
auf M sei wie folgt erklärt: x ∼ y genau dann, wenn es eine Abbildung f ∈ U mit f(x) = y
gibt.
(a) Zeigen Sie, dass x∼y eine Aquivalenzrelation ist. (Die Aquivalenzklassen werden Orbits von
U in M genannt)
(b) Bestimmen Sie die Orbits der Untergruppen aus Aufgabe 2 in der Ebene R²

Könnte mit hierbei jemand behilflich sein?

Answer 1

Reflexivität:

Sei \(x \in M\). Warum gilt \(x \sim x\)? Dafür muss es ja eine Abbildung \(f \in U\) mit \(f(x) = x\) geben? Wie sieht es mit der Identität auf \(M\) aus? Ist die vielleicht in \(U\)?

Symmetrie:

Seien \(x,y \in M\) mit \(x \sim y\), dann existiert ein \(f \in U\) mit \(f(x) = y\). Wir möchten zeigen, dass dann auch \(y\sim x\) gilt, suchen also eine Abbildung \(g \in U\) mit \(g(y) = x\). Können wir für \(g\) vielleicht einfach die Umkehrabbildung von \(f\) wählen?

Transitivität:

Seien \(x,y,z \in M\) mit \(x\sim y\) und \(y\sim z\). Zu zeigen ist, dass dann auch \(x\sim z\) gilt. Da \(x\sim y \) existiert ein \(f \in U\) mit \(f(x) = y\), da \(y\sim z\) existiert ein \(g \in U\) mit \(g(y) = z\). Was ist \(g(f(x))\)?. Was kannst du daraus folgern?

Für den Rest müsste man natürlich Aufgabe 2 kennen...