Wie vereinfacht man diese Wurzel?

Question

Aufgabe:

\( \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \)  die Lösung läuft (\( \frac{1}{2} \) \( \sqrt[3]{4} \) )

Comments

Was meinst du mit "die Lösung läuft"?

Answer 1

Hallo davi,

zunächst mal handelt es sich bei der vorgeschlagenen Lösung nicht unbedingt um eine Vereinfachung, wie ein vergleichender Blick auf beide Terme zeigt.

Es geht eher darum, den Bruchterm so umzuschreiben, dass man wenigstens im NENNER ohne Wurzel auskommt.

Im Nenner steht zunächst die Zahl 2. Das ist keine Kubikzahl, also kann man davon nicht so ohne weiteres die dritte Wurzel bilden.

Wird jedoch der Bruch \(\frac{1}{2}\) mit 4 erweitert, entsteht der Bruch  \(\frac{4}{8}\).

Es gilt für jeden Bruch \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} =\frac{ \sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}}\), somit ist

\( \sqrt[3]{\frac{4}{8}} =\frac{ \sqrt[3]{4}}{ \sqrt[3]{8}}\) , und für \( \sqrt[3]{8}\) kann man, weil 8 die dritte Potenz von 2 ist, einfach 2 schreiben.

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Danke für die Erklärung :)

Answer 2

\( \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \) = \( \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \) = \( \frac{\sqrt[3]{2^2}}{2} \) = \( \frac{\sqrt[3]{4}}{2} \) = \( \frac{1}{2} \) * \( \sqrt[3]{4} \)

Answer 3

(1/2)^(1/3) ?=1/2* (1/2)^(-2/3) = 1/2* 2^(2/3) = 1/2* (2²)^(1/3) = 1/2* 4^(1/3)