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Es geht um eine einfache Aufgabe, die ich aber irgendwie nicht hinbekomme.

2∫ x * ex dx

Die Lösung ist einfach, aber der Punkt ist jetzt folgender Schritt :


2∫ x * ex dx = x * ex - ∫ ex dx 

Gilt hier das "="? Wenn ja, warum?

Dann ist :

= 2x * ex - 2ex + C

Das ist ja richtig, aber stimmt auch Version 2?

2∫ x * ex dx = x * ex - ∫ ex dx I * 2

4∫ x * ex dx = 2x*ex - 2∫ex dx

= 2x*ex - 2ex +C

Welche Version stimmt und warum?

Danke.

von

4 Antworten

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Nach der partiellen Integration gilt

∫ x*e^x dx = x*e^x - ∫ e^x dx

∫ x*e^x dx = x*e^x - e^x + C

∫ x*e^x dx = (x - 1)*e^x + C

Deine Gleichung in der nur die linke Seite den Faktor 2 enthält dürfte verkehrt sein.

Wenn du davor noch den Faktor 2 hattest sollte gelten

2 * ∫ x*e^x dx = 2 * (x - 1)*e^x + C

von 321 k 🚀

Also stimmt Version 2? Wenn ich beide Seiten mit *2 ausgleiche, ist dann die Gleichheit gegeben?

Nein. Es gilt

∫ x*e^x dx = x*e^x - ∫ e^x dx

und wenn du mit 2 multiplizierst dann auch

2 * ∫ x*e^x dx = 2 * x*e^x - 2 * ∫ e^x dx

Gut, ist notiert. Vielen Dank.

+1 Daumen

Es gilt

(I) ∫f′g = fg − ∫fg′

Mit f'(x) = e^x und g(x) = x steht in (I) das gesuchte (ohne Faktor 2)

Der Faktor 2 muss auf beiden Seiten angewandt werden (nicht nur links):

(II) 2 * ∫f′g = 2 * fg − 2 * ∫fg′

von
+1 Daumen

..........................................

4.png

von 99 k 🚀
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"Welche Version stimmt und warum?"

Frage nicht. Leite deine Versionen ab und prüfe selbst.

von 12 k

Sehr freundliche Antwort...

So weit war ich auch. Die Ergebnisse sind gleich, die mögliche Stammfunktion ist korrekt. Die Frage war ja eher wie ich mit dem Vorfaktor arbeiten soll.

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