Wann hat eine Polynomfunktion 3.grades genau eine Nullstelle/extremstelle/Sattelpunkt

Question

Hallo

Ich muss diese 3 Fragen beantworten. Meine Antworten wären so: Eine Nullstelle wenn gilt:b²-4ac=0

Eine Extremstelle( meine antwort ist, so etwas gibt es nicht)

eine sattelstelle ( da habe ich gar nichts)

Stimmen vielleicht meine Antworten bzw. was wären die richtigen Antworten?

Comments

Redest du jetzt von einer quadratischen oder kubischen Funktion?

meine antwort ist, so etwas gibt es nicht

Da muss ich dich enttäuschen, es gibt Extremstellen in der Mathematik.

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Ja aber ich meinte es gibt keine polynomfunktion 3.grades mit einer einzigen Extremstelle

Kann sein, dass ich mich irre, ich frage um die richtige Antwort zu erfahren

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Da hast du recht.

Answer 1

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Wendetangente.

. Meine Antworten wären so: Eine Nullstelle wenn gilt:b²-4ac=0

Das ist sinnlos. Welche Bedeutung haben die verwendeten Buchstaben a, b und c?

Genau eine Nullstelle gibt es übrigens, wenn die Funktion streng monoton ist

ODER
wenn Hoch und Tiefpunkt existieren und beide oberhaln bzw. beide unterhalb des x-Achse liegen.

Answer 2

Ich muss diese 3 Fragen beantworten. Es wäre gut, wenn du etwas über die Funktionsgleichung weißt

Meine Antworten wären so: Eine Nullstelle wenn gilt:b²-4ac=0 Das kommt auf die Funktiondgleichung an. Zum Beispiel hat f(x)=x³-ax-b die Nullstelle $\sqrt[3]{b/2+√((b/2)^2-(a/3)^3)}$ +$\sqrt[3]{b/2-√((b/2)^2-(a/3)^3)}$ .

Eine Extremstelle( meine antwort ist, so etwas gibt es nicht). Sehr viele Polynomfunktionen 3. Grades haben ein Minimum und ein Maximuum.

Eine Sattelstelle ( da habe ich gar nichts). Eine Sattelstelle muss es nicht unbdedingt geben, aber wenn es Extrema gibt, dann auch einen Wendepunkt.

Comments

Eine Polynomfunktion dritten Grades hat immer einen Wendepunkt.

Answer 3

Gehen wir einmal von der Darstellung $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$aus und versuchen, allgemeine Aussagen daraus abzuleiten. Ein paar Beispiele:

(1) Die Funktion f besitzt mindestens eine, höchtens jedoch drei, Nullstellen.

(2) Die Funktion f besitzt immer genau eine Wendestelle $x_w$.

(3) Der Graph von f ist symmetrisch zu seinem Wendepunkt $\left(x_w \vert f(x_w)\right)$.

(4) Wenn die Steigung der Wendetangente $f'(x_w)$ gleich null ist, ist die Wendestelle eine Sattelstelle.

(5) Besitzt f eine Sattelstelle, hat sie keine Extremstellen.

(6) Wenn die Steigung der Wendetangente $f'(x_w)$ gleich null ist oder dasselbe Vorzeichen aufweist wie der Leitkoeffizient a, dann ist f streng monoton und besitzt genau eine Nullstelle.

(7) Wenn die Steigung der Wendetangente $f'(x_w)$ ein anderes Vorzeichen aufweist wie der Leitkoeffizient a, dann besitzt f genau zwei Extremstellen, nämlich eine Tiefstelle und eine Hochstelle.

Na gut, jetzt höre ich mal auf, sicher gibt es noch mehr solcher Aussagen.