Aufgabe:
Gegeben sei die Matrix
$$ A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_2 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 & 0 \end{pmatrix}$$
mit $$a_i,b_i\in\mathbb{R}, i=1,2,3$$ und $$a_1^2+a_2^2+a_3^2 \neq0, b_1^2+b_2^2+b_3^2 \neq0.$$
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und die Dimensionen der zugehörigen Eigenräume.
(b) Besitzt A eine Jordansche Normalform als Matrix aus M(4,$$\mathbb{R}$$)?
(c) Zeigen Sie, dass das Minimalpolynom von A durch $$ μ_A=x(x^2-c) $$ mit $$ c=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 $$ gegeben ist.
Problem/Ansatz:
zu (a)
zunächst berechne ich das charakteristische Polynom mit $$ Χ_A=det(A-λE_2) $$ dann wende ich die Polynomdivision an, um die Eigenwerte zu bestimmen. Im Anschluss berechne ich die Eigenräume mit $$ A-λE_2 für λ=?$$ und wenn ich das ganze dann in Zeilenstufenform bringe, sollte ich die Dimensionen ablesen können.
zu (b)
dazu brauche ich ja eigentlich nur $$ T^-1*A*T$$ berechnen oder?
zu (c)
Hier würde ich zunächst mal die Bedingunegen des Minimalpolynoms überprüfen
Mein Problem ist jetzt aber, dass ich irgendwie auf dem Schlauch stehe, wie ich die unbekannten berechne. Irgendwie habe ich da glaube ich einen Denkfehler.
Ich bedanke mich schon im Voraus für eure Unterstützung.
