Richtungsableitung bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Richtungsableitung der Abbildung f : R2 → R3 ,\( \vec{x} \) →\( \begin{pmatrix} x1-x2\\x1*x2\\2^{x1} \end{pmatrix} \)
an der Stelle x = (2, 4)T
in Richtung v = (1, −1)T

Ich weiß nicht wie man den Gradienten zu dieser Aufgabe bestimmt, um dann das Skalarprodukt mit v zu berechnen.

Oder kennt jemand vielleicht sogar einen noch besseren weg?

Answer 1

das ist eine Funktion von R^2 → R^3, hier brauchst du die Jakobimatrix (im Falle R^2---> R^1 wäre das gerade der Spezialfall Gradient.)

Die Jakobimatrix bekommst du einfach, indem du den Vektor jeweils nach x_1 bzw. x_2 ableitet und die Vektoren nebeneinander schreibst.

f'(x_1, x_2)

= (1,x_2,LN(2)*2^{x_1})^T , (-1,x_1,0)^T)

f'(2,4)= (1,4,LN(2)*4})^T , (-1,2,0)^T)

Es gilt nun

df/dv = f'(x_1,x 2)*v

=(1,4,LN(2)*4})^T , (-1,2,0)^T)*(1,-1)^T

=(2,2,4*LN(2))^T