Wir wendet man hier die Kettenregel an?

Question

Guten Morgen ich habe die folgende Aufgabe:

Gegeben seien

$$\begin{array}{ll}{f : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},} & {f(x, y, z) :=\left( \begin{array}{cc}{x z+y} \\ {x y-y z}\end{array}\right)} & {g_{2}(x, y) :=x+y,}\end{array} \quad \begin{array}{ll}{g_{1} : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},} & {g_{1}(x, y) :=x^{2}+y} \\ {g_{3} : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},} & {g_{3}(x, y) :=-x+y^{2}}\end{array}$$

Berechnen Sie $$\varphi(x, y) :=f\left(g_{1}(x, y), g_{2}(x, y), g_{3}(x, y)\right)$$ mit Hilfe der Kettenregel.

Meine Frage wäre, wie man da rangehen soll?

Die Kettenregel ist ja so hier definiert $$(\vec{f}(\vec{g}))^{\prime}(\vec{x})=\vec{f}^{\prime}(\vec{g}(\vec{x})) \vec{g}^{\prime}(\vec{x})$$

Aber phi schaut anders aus.

Wäre nett, wenn mir Jemand, zeigen könnte, wie ich hier vorgehen muss. Mich verwirrt hauptsächlich das mit Komma getrennte inner von f, ich kann es ja nicht auseinander ziehen, oder?.

Comments

Du kannst die drei Funktionen g_1, g_2 und g_3 zu einer vektorwertigen Funktion g zusammenfassen und dann von f und g die Jacobi-Matrizen bilden, falls du das übersichtlicher findest.

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Hey

Du kannst die drei Funktionen g_1, g_2 und g_3 zu einer vektorwertigen Funktion g zusammenfassen

Du meinst es so hier oder?

$$f\left( \left( \begin{array}{l}{x^2+y} \\ {x+y} \\ {-x+y^2}\end{array}\right) \right)$$

und dann von f und g die Jacobi-Matrizen bilden, falls du das übersichtlicher findest.

Nur leider sollen wir tatsächlich die Kettenregel anwenden und von einer Jacobi-Matrizen habe ich bisher noch nichts gehört, kommt erst in der nächsten VL

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Auf dem vorgeschlagenen Weg ergibt sich die Ableitung als Produkt der Jacobi-Matrix von f (angewendet auf g) und der Jacobi-Matrix von g. Das Ergebnis ist die Jacobi-Matrix von phi. Das ist genau die Kettenregel.

Alternativ dazu kannst du auch die vektorwertige Funktion f in ihre Komponenten f_1 und f_2 zerlegen und alle benötigten Gradienten der fs und der gs berechnen und die Kettenregel als Skalarprodukt von Gradienten verwenden. Im wesentlichen rechnet man dabei allerdings das gleiche, schreibt es nur anders auf.

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$$\varphi(x, y) :=f\left(g_{1}(x, y), g_{2}(x, y), g_{3}(x, y)\right)$$

ist doch erst mal eine als Verkettung der angegebenen Funktionen.

Wenn in der Fragestellung nichts von "Ableitung" steht, würde ich nicht ableiten.

Answer 1

Mit Kettenregel hat das nichts zu tun.

Du meinst vermutlich "Verkettung" und das heißt doch n ur,

dass du bei f(x,y,z) jeweils etwas einsetzen musst, nämlich

g1(x,y) für x und  g2(x,y) für x und  g3(x,y) für z.

Das bedeutet f ( g1(x,y) ,  g2(x,y) , g3(x,y)  )

also ist φ(x,y) = f ( g1(x,y) ,  g2(x,y) , g3(x,y)  )

          = f ( x²+y  ,  x+y ,   -x + y²   )

und mit der Def. von f erhältst du damit in

der 1. Komponente statt xz+y

den Term (x² + y)*(-x+y²)+(x+y) = -x³ +x²*y²+x-xy+y³+y

und statt  xy-yz

den Term (x² + y)*(x+y) - (x+y)*(  -x + y²   )=  x³ +x²*y+x² -xy² +2xy -y³+y²

Also ist φ(x,y)=

 (  -x³ +x²*y²+x-xy+y³+y  ,  x³ +x²*y+x² -xy² +2xy -y³+y²  )

Und die Kettenregel würdest du brauchen um davon die

Ableitung zu bestimmen.

Comments

Hi,

Und die Kettenregel würdest du brauchen um davon die

Ableitung zu bestimmen.

Aber warum? Ich sehe da nicht wo die Kettenregel nützlich wäre.

Ich würde es einfach partiell ableiten und fertig.

Wie würde man denn die Kettenregel hier anwenden.?

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Mit Kettenregel hat das nichts zu tun.

Und warum nicht? Ist doch ausdrücklich der von der Aufgabe geforderte Weg.

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Na dann müsste da doch sowas stehen wie:

Ableitung von φ

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Hallo Mathef es soll die Ableitung bestimmt werden, ich dachte das sei automatisch klar, tut mir leid

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Hallo az0815

Ja, nur wüsste ich nun nicht wie ich es darauf anwenden soll.

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Na das macht Sinn. Die Ableitung von φ kannst du zum einen als Ableitung

des Ergebnisses von oben bestimmen, also Ableitung von

$$\begin{pmatrix} -x^3 +x^2*y^2+x-xy+y^3+y \\x^3 +x^2*y+x^2 -xy^2 +2xy -y^3+y^2 \end{pmatrix}$$

Das gibt die Matrix der partiellen Ableitungen (Jacobimatrix)

$$\begin{pmatrix} -3x^2+2xy+1-y & 2x^2y-x+3y^2+1 \\ 3x^2+2xy+2x-y^2+2y & x^2-2xy+2x-3y^2+2y \end{pmatrix}$$

Das sollst du aber ja nun mit der Kettenregel machen. Die hast du oben ja schon richtig zitiert, musst nun halt alles ausrechnen.

Es ist ja $$f(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} xz+y\\xy-yz \end{pmatrix}$$

Davon die Ableitung gibt die Matrix

$$\begin{pmatrix} z & 1 & x \\ y & x-z & -z\end{pmatrix}$$

Da muss aber nun noch überall statt x dann g1(x,y) und statt y … eingesetzt werden gibt

$$\begin{pmatrix} -x+y^2 & 1 & x^2+y \\ x+y & x^2+y+x-y^2 & -x-y \end{pmatrix}$$

Das ist der Faktor aus der Kettenregelformel.

Der zweite ist einfach nur die Ableitung von g, also

$$\begin{pmatrix} 2x & 1 \\ 1 & 1\\ -1 & 2y\end{pmatrix}$$

Und wenn du diese beiden Matrizen multiplizierst, kommt

- oh Wunder - das gleiche raus wie oben.