Dimension des Kerns bestimmen und auf injektivität/surjektivität/bijektivität testen.

Question

Aufgabe:

Es ist gegeben $$ L_{1} : \mathbb{R}_{ \leq 4}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \mapsto \left( \begin{array}{cc}{-2 e} & {b-e} \\ {2 b-3 e} & {c-3 d}\end{array}\right) $$

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand den Ansatz verraten, wie man denn auf den Kern kommt und wie man L1 auf injektivität etc. prüfen würde ?

Answer 1

Ist $$ g=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \in \ker L_1$$ dann gilt

$$ L_1(g) =\left( \begin{array}{cc}{-2 e} & {b-e} \\ {2 b-3 e} & {c-3 d}\end{array}\right) = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$$ $$-2e=0\implies e=0\\b-e=0 \implies b=0\\c-3d=0 \implies c=3d$$

Somit hat das Polynom g die Form

$$ g=ax^4 + 3dx^2 + dx$$

also

$$ \ker L_1 \subseteq \{ ax^4 +3dx^2 + dx ~|~ a,d\in\mathbb{R}\}$$

Andere Inklusion auch noch zeigen, dann weißt du, dass der Kern Dimension 2 hat. Das reicht um zu zeigen, dass \( L_1\) weder injektiv noch surjektiv ist.

Alternativ könntest du natürlich auch mit der Darstellungsmatrix arbeiten.

Comments

Also $$ \operatorname{Ker} n\left(L_{1}\right)=\left\{a x^{4}+c x^{2}+\frac{1}{3} c x | a, c \in R\right\} $$

somit dim(Kern(L1)) = 2 und dim(Bild(L1)) = dim(L1) - dim(Kern(L1)) = 3

richtig so ?

---

Standardbasen wählen:

$$ \mathcal{B} =(1,x,x^2,x^3,x^4)$$

$$ \mathcal{C} =\left(\left(\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&2\\0&0\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0\\1&0\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}\right)\right)$$

Darstellungsmatrix aufstellen:

$$ M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(L_1)=\begin{pmatrix}-2&0&0&0&0\\-1&0&0&1&0\\-3&0&0&2&0\\0&-3&1&0&0\end{pmatrix}$$

usw.

---

Warum ist es denn aber $$ \operatorname{ker} L_{1} \subseteq\left\{a x^{4}+3 d x^{2}+d x | a, d \in \mathbb{R}\right\} $$ statt $$ \operatorname{ker} L_{1} =\left\{a x^{4}+3 d x^{2}+d x | a, d \in \mathbb{R}\right\} $$

---

somit dim(Kern(L1)) = 2 und dim(Bild(L1)) = dim(L1) - dim(Kern(L1)) = 3

richtig so ?

Ja, bis auf

dim(L1)

Da sollte natürlich der Polynomraum der Polynome vom Grad höchstens 4 drin stehen.

---

Weil du streng genommen noch nicht gezeigt hast, dass alle Polynome von der Form ax^4+3dx^2+dx auch tatsächlich im Kern liegen. Dafür musst du noch nachweisen, dass

$$L_1(ax^4+3dx^2+dx) = 0$$

Das lässt sich aber noch schnell ausrechnen.

---

Die Dimension des Kerns ist dann 2, weil wir den Kern in 2 Weisen darstellen könne oder? Wenn der Kern nun noch eine Basis hätte, wäre die Dimension dann dementsprechend 4 ?

---

Die Dimension des Kerns ist dann 2, weil wir den Kern in 2 Weisen darstellen könne oder?

Im Polynom ax^4+3dx^2+dx kannst du 2 Zahlen frei wählen => Dimension ist 2. Eine Basis des Kerns ist z.B. (x^4 ,3x^2+x), das Polynom oben ist einfach eine Linearkombination von diesen beiden Polynomen. Zwei Basisvektoren => Dimension ist 2.

Wenn der Kern nun noch eine Basis hätte, wäre die Dimension dann dementsprechend 4 ?

Das verstehe ich nicht?

---

Achso ok danke :)

---

Sorry eine letzte Frage noch: Für die injektivität ist es mir klar aber wie zeige ich denn, dass es nicht surjektiv ist ?

---

Die Dimension des Bilds ist 3. Die Dimension des Zielraums (2x2 Matrizen) ist aber 4. Das Bild kann aus Dimensionsgründen also nicht dem Zielraum entsprechen und somit ist die Abbildung auch nicht surjektiv.

---

Danke :) Schönen Abend noch.