Untersuchen Sie reelle Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie den Grenzwert. bn= n^{n-2}/n! und eine andere

Question

Ich bräuchte mal einen Lösungsweg zu folgender Übungsaufgabe, da ich das Konvergenz-, sich einem Grenzwert annähern- Thema wirklich nicht so ganz hinbekomme..

Die unten stehenden reellen Folgen sollen auf Konvergenz geprüft werden und gegebenfalls ihr Grenzwert bestimmt werden.

Aufgabe a)

$$ a_n = \frac { { n }^{ 2 }+{ 2 }^{ n } }{ n+3\cdot 2^{ n } } ,n \quad \ge 0 $$

Aufgabe b)

$$ b_n = \frac { n^{ n-2 } }{ n! } , \quad n\ge 1 $$

Nett wäre es übrigens wenn ihr mir eure Vorgehensweise erläutern bzw. begründen könntet.

Comments

a_n konvergiert voraussichtlich gegen 1/3. Du kannst oben und unten die Summanden einzeln durch 2^n teilen. - Entspricht Kürzen mit 1/(2^n). Dann den Limes auf die 4 Terme aufteilen. Die beiden Brüche mit 2^n im Nenner konvergieren beide einzeln nach 0*** und es bleibt 1/3.

Es gibt hier schon irgendwo eine bis gestern unbefriedigende Diskussion, wie *** zu zeigen wäre für n^k im Zähler. Quotientenregel vs. de l'Hospital. Mir ist das egal. Es muss einfach 0 rauskommen, da Exponentialfunktionen für Basen > 1 stärker wachsen als jede Potenzfunktion.

 

Answer 1

Unsere Übungsgruppe meint i) konvergiert 1/3 und ii) gegen Unendlich, aber das auszuschreiben, wäre natürlich nen bissl viel... Einfach die Sätze aus den Vorlesungen andwenden und die Summe aufspalten.