Potenzreihendarstellung einer Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Die Funktionen
cosh : C → C (Cosinus hyperbolicus),
sinh : C → C (Sinus hyperbolicus),
sind definiert durch
cosh(z) := 1/2 (exp(z) + exp(−z)),
sinh(z) := 1/2 (exp(z) − exp(−z)).
Bestimmen Sie die Potenzreihendarstellungen dieser Funktionen, und zeigen Sie, dass für
alle z, w ∈ C gilt:
(a) cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w),
(b) sinh(z + w) = cosh(z) sin h(w) + sinh(z) cosh(w),
(c) cosh2
(z) − sinh2
(z) = 1.

Problem/Ansatz:

hat jemand vielleicht eine idee wie man diese aufgaben lösen kann ?

Answer 1

Die Reihendarstellung erhältst du durch die e-Reihe

$$exp(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$$

Das setzt du einfach bei

cosh(z) := 1/2 (exp(z) + exp(−z))

ein und fasst es zu einer Summe zuzsammen.

Und z.B.  cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w),

zeigst du auch durch Einsetzen

cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w)

<=>  1/2 (z.B. exp(z+w) + exp(−z-w))

= 1/2 (exp(z) + exp(−z))* 1/2 (exp(w) + exp(−w))+( 1/2 (exp(z) - exp(−z)))* 1/2 (exp(z) - exp(−z)))

und beachte z.B. exp(z+w)=exp(z)*exp(w) und  exp(−z)=1/ exp(z) etc.