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Aufgabe:Ein Abenteuer-Spielplatz soll eine möglichst große rechteckige Fläche zugewiesen bekommen. Der Spielplatz liegt im Gleisbogen eines Industriegleises.

Das Gleis quert die Hauptstraße im Punkt A und Nebenstraße im rechten Winkel im Punkt B

Zwischen den Punkten A und B kann das Gleis durch eine quadratische Funktion (Parabel) beschrieben werden.

Die Nebenstraße mündet im rechten Winkel in die Hauptstraße ein.

a) Ermitteln Sie rechnerisch die Funktion g(x) = rx^2+sx+d welche den Verlauf des Industriegleises zwischen den Punkten A und B beschreibt. Nutzen Sie hierzu die Lage der Bahnübergänge A und B und die Steigung der Funktion g(x) im Punkt B

b) Bestimmen Sie die Fläche f(a,b) eines Spielplatzes mot Breite a indem Sie die Länge b als Funktion von a ermitteln

c) Ermitteln Sie den Wert von a für den die Fläche f(a) maximal wird

d) Welche maximale Größe hat der Spielplatz?

e) Wie groß ist der Anteil der Spielplatzfläche an der durch Industriegleis, Hauptstraße und Nebenstraße begränzten Gläche?20190611_171431.jpg


Problem/Ansatz:

Ich habe die Steigung bestimmt:

m=y1-y2÷x1-x2 =120÷-150=-0,8

Dann die gegebenen Punkte in die Gleichung  g(x)=rx^2+sx+d eingesetzt:

120=r×0^2 + s×0+d

120= d


0= r×150^2+s×150+120

0= 22500r+150s+120


und ab hier komme ich nicht weiter.

Habt ihr einen Tipp, wie ich das ganze angehen soll? Was muss ich beachten und was kann ich zum lösen ähnlicher Aufgaben übernehmen?

Falls jemand von euch die Aufgabe lösen kann und den Lösungsweg grob verständlich beschreibt wäre ich sehr dankbar.

von

Den letzten Schritt zur Kontrolle
A´( x ) = 120 - 2/125*x^2
Extremstelle
120 - 2/125*x^2 = 0

x = 86.60 m

Kannst du kurz unten nochmal gucken, habe dort nochmal meinen Rechenweg in den Kommentaren geschrieben. Habe auch 86.60 raus, danach aber sicher einen Rechenfehler gemacht

120 - 2/125*x2 = 0
120 = 2/125*x2  | * 125
15000 = 2 * x^2 | / 2
7500 = x^2
x = ± 86.60 m
x = -86.60 m entfällt

x = 86.60 m
f ( 86.60 ) = - 2 / 375* 86.60 ^2 + 120
f = -40 + 120 = 80 m

A = 86.6 * 80 = 6928 m^2

Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.

Ok, hätte mir also das einsetzen in die zweite Ableitung sparen könne. Warum entfällt -86.6 denn?

Wir betrachten nur den Teil der Parabel rechts von der y-Achse = Nebenstraße

Ah, danke. Wie würde ich dann jetzt die Aufgabe e berechnen, also den Anteil der Spielfläche

Du berechnest den Flächeninhalt unterhalb der Parabel im Intervall von 0 bis 150. Das ist die Gesamtfläche = 100 %.

Ok, ich weiss leider nicht wie ich den flächeninhalt davon berechne

Ihr hattet noch keine Integralrechnung?

Nein, hatten ich bis jetzt noch nicht.

Tja, du könntest jetzt natürlich "Kästchen" zählen, aber ob das Sinn und Zweck der Aufgabe ist, wage ich zu bezweifeln. Momentan fällt mir außer Integralrechnung nichts ein.

Ok, danke. Dann habe ich jetzt den rest soweit verstanden.

1 Antwort

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Wähle die Hauptstraße als x-Achse und die Nebenstraße als y-Achse. A(0|120) ist der Scheitelpunkt der Parabel. Daher der Ansatz f(x)=ax2+120. Hier wird der Punkt der Punkt B(150|0) eingesetzt. Nach a aufgelöst, ergibt das a=-375/2 und der Gleisbogen wird durch f(x)=-375x2/2+120 modelliert.

von 61 k

Roland, ich erhalte für a

-\( \frac{2}{375} \)

Ah ok, du hast das also so gemach:

0= a×150^2 + 120 | -22500a

 -22500a = 120 | :(-22500)

a = \( -\frac{2}{375} \)

Ja, so habe ich das gemacht.

Wie würdest du denn jetzt an Aufgabe b rangehen? Ich weiss nicht wie ich die Kantenlängen des Rechtecks ermittel. Würde jetzt einfach anfangen zu raten ....

Bestimmen Sie die Fläche f(a,b) eines Spielplatzes

eines Spielplatzes heißt für mich, du kannst a beliebig wählen. Nimmst du für a zum Beispiel 60, dann ergibt sich für die Länge b = g(a) = -2/375 • 602 + 120

Ok, da könnte ich dann frei wählen. Den Extrempunkt für aufgabe c ermittle ich dann mit den Ableitungen?

Die Hauptbedingung ist A = a • f(a)

also a • (-\( \frac{2}{375} \) a2+120)

Du arbeitest mit der Ableitung der Funktion, die sich hieraus ergibt.

Die Ableitung wäre dann: \( -\frac{2}{125} \)a2+120

Aber wie bekomme ich jetzt f(a) maximal?

Ich weiss das es irgendwas mit den Gleisen zutun hat, aber leider nicht wie ich das ganze ohne probieren löse. Denn a darf ja einen bestimmten Wert nicht überschreiten, da die Gleise sonst geschnitten werden.

Du setzt diese Ableitung = 0 (notwendige Bedingung für Extremstellen).

Ich habe das jetzt so gemacht:

1. Ableitung

\( -\frac{2}{125} \) a + 120 = 0 | ×125

-2a2 +15000 = 0 | -15000

-2a2 = - 15000 | :(-2)

a2 = 7500 | Wurzel ziehen

a = +-86,60

Das habe ich dann in die Zweite Ableitung: \( -\frac{4}{125} \)×a eingesetzt.

\( -\frac{4}{125} \)×86,60 = -239.986 , somit ein Hoch

und + 239,986 Tief

Diese habe ich dann in die Gleichung \( -\frac{2}{375} \)×x2 eingesetzt,

-187,16 und 427,16 rausbekommen. Bin mir aber nicht sicher ob das richtig ist.

-86,6 kannst du ignorieren

86,6 in die Ausgangsgleichung eingesetzt ergibt

$$-\frac{2}{375}\cdot86,6^2+120=80 $$

Ok, musste ich das ergebnis der 1. Ableitung denn überhaupt in die zweite einsetzten? oder habe ich da die zweite Ableitung mit der Ausgangsgleichung verwechselt

Du musstest es in die 2. Ableitung einsetzen, um festzustellen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Die y-Koordinate erhältst du durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

Ok, dann war das ja richtig. Nur dass ich das Ergebnis der Berechnung mit der Zweiten Ableitung dann in die Ausgangsgleichung eingesetzt habe war falsch, da hätte ich das Ergebnis aus der 1. Ableitung nehmeb sollen oder?

Ja, das Ergebnis der 2. Ableitung dient nur dazu festzustellen, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt.

Hallo ich bins nochmal alles durchgegangen, wie bist du jetzt bei Aufgabe c. auf A= a×f(a) gekommen?

Der Flächeninhalt eines Rechtsecks wird berechnet mit A = a • b. b ist in diesem Fall f(a).

Ok. Mit f(a) berechnet man ja dir länge von b. Dann hab ich das jetzt verstanden

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