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Aufgabe:

Geben Sie jeweils die Koeffizientenmatrix für die folgenden linearen Abbildungen an:

a) L1 : R3 → R3. L1(v) entspricht der Spiegelung des Vektors v an der x, y-Ebene.

b) L2 : R2 → R2. L2(v) entspricht der Spiegelung des Vektors v an der Geraden G = \( \begin{pmatrix} 1 \\  1 \end{pmatrix} \) + λ * \( \begin{pmatrix} 1 \\  1 \end{pmatrix} \).

c) L3 : R2 → R2. L3(v) entspricht der Drehung des Vektors v um den Winkel \( \frac{π}{4} \) gefolgt von der Spiegelung
an der Geraden G aus Aufgabe b).


Problem/Ansatz:

Bei a) hätte ich das so gemacht,

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix} \) und nach der Spiegelung wird daraus \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix} \)

Ist das bisher so richtig, da zuerst von einer linearen Abbildung als Matrix die Rede ist und dann von einem einzelnen Vektor?


Bei b) und c) fehlt mir das wissen, wie man an der Geraden spiegelt und ob man einen Vektor spiegelt oder eine 2x2-Matrix (z.B. \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) spiegelt.

vor von

1 Antwort

+2 Daumen

Bei a) musst du doch schauen, das jeder Vektor (x;y;z)^T zu ( x;y;-z)^T wird;

denn das bedeutet doch: Spiegelung an der xy-Ebene.

Das erreichst du durch

(1    0   0                x                  x
0    1    0       *       y         =         y  
0    0    -1 )             z                  -z

Also ist das die Matrix für a). Am besten merkst du dir:

In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren.

Hier heißt das e1 und e2 bleiben gleich und e3 wird zu -e3.

Und bei b denkst du dir auch: Was sind die Bilder von (1;0)

und von (0;1) und du hast die Matrix.

vor von 168 k
Und bei b denkst du dir auch: Was sind die Bilder von (1;0)
und von (0;1) und du hast die Matrix.

Kannst du genauer erklären, warum man sich nur um die Bilder von (1,0) und (0,1) Gedanken machen muss? Liegt es daran, dass das die einzigen Einheitsvektoren sind?

Es ist immer so, dass in den Spalten der

Matrix die Zahlen stehen, mit denen man die Bilder der

Basisvektoren des Ausgangsraumes mit den

Basisvektoren des Zielraumes darstellen kann.

Weil bei dir nichts anderes gesagt ist sind die

Basisvektoren wohl die Standardbasisvektoren

und damit sind die Spalten der Matrix eben einfach

die Bilder der Standardbasisvektoren.

Vielen Dank schon mal für die Antwort.

Nur wozu habe ich dann bei b) die Gerade gegeben, wenn ich sie am Ende doch missachte?

bei b) spiegelst du ja an der Geraden um die Bilder der Einheitsvektoren

zu bestimmen

aus

1
0

wird dabei

0
1

und aus

0
1
wird

1
0

Also Matrix

0    1
1    0 

Ein anderes Problem?

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