Aufgabe:
Welches Verhalten zeigt die relative Kondition des Ausdrucks ln (x)
i) für x >0 mit x ∼0?
ii) für x >1 mit x∼1?
Welches Verhalten zeigt die relative Kondition des Ausdrucks \( \frac{1-cos (x)}{sin(x)} \)
iii) für x >0 mit x∼0?
Hinweis: Für Terme f(x)/g(x )mit limx→0 f(x) = limx→0 g(x) = 0 verwende beim Bilden des Grenzwerts die Regel von L’Hospital.
Problem/Ansatz:
i) Im Skript steht folgende Definition
K f,a = | \( \frac{f'(a)}{f(a)} \) * a | = | \( \frac{\frac{1}{a}}{ln(a)} \) * a | = | \( \frac{1}{ln(a)} \) * a | = | \( \frac{1}{ln(a)} \) |
Es gilt für e < a => a < ln (a) => | \( \frac{1}{ln(a)} \) | < 1
1 < a y e => 0 < ln (a) < 1 => | \( \frac{1}{ln(a)} \) | > 1
\( \frac{1}{e} \) < a < 1 => -1 < ln (a) < 0 => | \( \frac{1}{ln(a)} \) | > 1
a < \( \frac{1}{e} \) => ln (a) < -1 => | \( \frac{1}{ln(a)} \) | < 1
Wie kann ich jetzt die Info runterbringen, dass x > 0 oder x > 1 ist. Ist x hier gleichbedeutend mit e und ich kann einfach die Definition abschreiben? Wo brauch ich L'Hopital?
ii) Ich habe die Formel | \( \frac{f'(a)}{f(a)} \) * a | verwendet und eingesetzt
| \( \frac{\frac{cos(x)-1}{sin²(x)}}{\frac{1-cos(x)}{sin(x)}} · \frac{1-cos(x)}{sin(x)} \) |
Wenn ich dafür jetzt z.B. 1 einsetzte und als e = 0,001 einsettze, komme ich auf -58,2986. Und das kann ja nur ein Fehler sein - aber definitiv nicht der relative Fehler ;-)
