Weitere Gerade ermitteln im R3

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade

g:X=(1|-1|2)+s*(3|1|-4)

Gib Parameterdarstellungen von zwei verschiedenen Geraden an, die zu g normal sind und g schneiden.

Bitte den Lösungsweg realtiv einfach und gut erklären!

Lg

Answer 1

Eine Gerade , die zu g normal ist und g schneidet, kann den Richtungsvektor  \( \vec{r} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\4 \end{pmatrix} \) haben und der Ortsvektor kann der gleiche sein.  Andere derartige Geraden erhält man, indem man einen weiteren Punkt auf g sucht (z.B. (4|0|-2) und den Richtungsvektor \( \vec{r} \) entweder beibehält oder so wählt, dass \( \vec{r} \) =\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) mit           \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 3\\1\\-4 \end{pmatrix} \) =0.

Comments

Wie kann ich den richtungsvektor berechnen?

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Multipliziere die linke Seite meiner zuletzt genannten Gleichung skalar. Dann erhältst du 3x+y-4z=0. Setze eine der drei Unbekannten 0 und lege von den beiden anderen eine so fest, dass die andere bestimmbar wird.

Beispiel: Ich setze z=0. Dann muss gelten 3x+y=0. Wenn ich jetzt für x= - 1 wähle, heißt es -3+y=0 und dann y=3. Dann ist \( \begin{pmatrix} -1\\3\\0 \end{pmatrix} \) ein möglicher Richtungsvektor.

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Ich weiß, ich bin eine schwerfällige Fehlbildung in Mathe.

Wie weiß ich dann, dass sich diese Punkte mit der Geraden schneiden und normal sind?

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Nier ist eine Gerade g gegeben und eine zweite gesucht, die zum einen mit g einen Punkt gemeinsam haben soll.  Dieser Punkt ist auf g frei wählbar.  Die Punkte auf g findest du, indem du in die Gleichung von g für s beliebige Zahlen einsetzt.

Beispiele: Für s=0 ist (1|-1|2) ein Punkt der Geraden (hier der Ortsvektor). Für s=1 ist (1|-1|2)+1·(3|1|-4)=(4|0|-2) ein Punkt der Geraden.

Zum zweiten soll die gesuchte Gerade senkrecht auf g stehen. Dazu hatte ich dir schon einiges geschrieben.

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eine frage lässt mir immernoch keine ruhe. Ich kann, wenn ich so eine Gerade gegeben habe, keinen Normalvektor berechnen oder?

Wenn schon, wie mach ich das?

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Du weißt sicher: Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren zweier Geraden ist genau dann 0, wenn die Geraden senkrecht (normal) zueinander sind. In deiner Aufgabe (ganz oben) war der Richtungsvektor \( \begin{pmatrix} 3\\1\\-4 \end{pmatrix} \). Jetzt unendlich viele Vektoren \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) mit der Eigenschaft \( \begin{pmatrix} 3\\1\\-4 \end{pmatrix} \)· \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =0.

Wie man einen davon berechnet, hatte ich schon geschrieben.

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ok gut.

Was nützt mir dann ein Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren ?

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Wenn das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren gleich 0 ist, stehen die Richungsvektoren (und damit auch die zugehörigen Geraden) senkrecht (normal) aufeinander.

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Wenn das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren gleich 0 ist, stehen die Richungsvektoren (und damit auch die zugehörigen Geraden) senkrecht (normal) aufeinander.

Denk da nochmals drüber nach. Das was du hier meinst ist ebenso das Skalarprodukt.

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wir hatten vorher ja (3|1|-4), ein möglicher Richtungsvektor war (-1,3,0)

Das kreuzprodukt ergibt nicht null sondern (12|4|10) - d.h dann laut deiner vorherigen Antwort, dass sie nicht normal aufeinander stehen?

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Was nützt mir dann ein Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren ?

Das Kreuzprodukt ist die einfachste Möglichkeit einen Vektor zu berechnen, der zu zwei vorgegebenen Vektoren senkrecht ist. Damit berechnet man z.B. den Normalenvektor einer Ebene zu der zwei Richtungsvektoren bekannt sind.

Weiterhin erlaubt das Kreuzprodukt sehr einfach die Fläche eines Dreiecks oder Parallelograms zu bestimmen, welches von den Richtungsvektoren aufgespannt wird.

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Der_Mathecoach, dh. dass von Roland eben, war quatsch. Das Skalarprodukt zeigt mir, ob zwei Richtungsvektoren normal stehen.
Das Kreuzprodukt, zeigt mir einen Normalvektor der 2 angegebenen Richtungsvektoren & mit dem ich A von Dreieck & Parallelogramm ausrechnen kann.

hab ich das nun richtig verstanden?

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hab ich das nun richtig verstanden?

So hast du das richtig verstanden.

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Ok, also. Wenn ich zwei geraden ermitteln muss mit einen anderen richtungsvektor, kann ich ja reintheoritsch den Richtungsvektor meiner gegeben Geraden nehmen und den einen den ich neu ermittelt habe und mit denen ein Kreuzprodukt bilden und so hab einen weitern Richtungsvektor.

Könnte das funktionieren?

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Wie der Mathcoach richttg feststellt, war meine Antwort "Wenn das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren gleich 0 ist, stehen die Richungsvektoren (und damit auch die zugehörigen Geraden) senkrecht (normal) aufeinander."  falsch. Was dir das Kreuzprodukt nützt, wurde bereits beantwortet.

Answer 2

Wenn g geschnitten werden soll, kannst du den Ortsvektor beibehalten. Damit g senkrecht geschnitten wird, muss der neue Richtungsvektor senkrecht zu dem von g sein. Das bedeutet das Skalarprodukt ist null.

Senkrecht zu [3, 1, -4] sind unter anderem [0, 4, 1], [4, 0, 3] oder [1, -3, 0]. Wie kann man diese senkrechten Vektoren sofort ohne Rechnung angeben?

Damit wären folgende Geraden ohne jegliche Rechnung denkbar.

h1: X = [1, -1, 2] + r * [0, 4, 1]

h2: X = [1, -1, 2] + r * [4, 0, 3]

h3: X = [1, -1, 2] + r * [1, -3, 0]