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Beweisen Sie die folgende Identität durch nachrechnenSharedScreenshot2.jpg

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$$\quad\sum_{k=0}^m\binom nk\binom{n-k}{m-k}$$$$=\sum_{k=0}^m\frac{n!}{k!\color{#c00}{(n-k)!}}\cdot\frac{\color{#c00}{(n-k)!}}{(m-k)!(n-m)!}$$$$=\sum_{k=0}^m\frac{n!}{\color{#00f}{m!}(n-m)!}\cdot\frac{\color{#00f}{m!}}{k!(m-k)!}$$$$=\sum_{k=0}^m\binom nm\cdot\binom mk$$$$=\binom nm\cdot\sum_{k=0}^m\binom mk\color{#00f}{\cdot1^{m-k}\cdot1^k}$$$$=\binom nm\cdot(1+1)^m$$$$=\bbox[#ff0,6pt,border:2pt dashed #f00]{\color{#00f}{2^m\cdot\binom nm}}$$

vor von 1,4 k
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\( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) =\( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

\( \begin{pmatrix} n-k\\m-k \end{pmatrix} \) =\( \frac{(n-k)!}{(n-k)!(n-m)!} \)

Das Produkt nach Kürzen: \( \frac{n!}{k!(m-k)!(n-m)!} \)

Weiter weiß ich nicht. Vielleicht hilft es dir trotzdem?

vor von 58 k

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