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Die positive Zahl \( g \) welche \( g = 1 + \frac{1}{g} \) erfüllt, heißt goldener Schnitt.


a) Bestimmen Sie \( g \)


b) Es sei \( (x_n)_{n \in ℕ} \) eine Folge reeller Zahlen, gegeben durch \( x_0 = 1 \) und \( x_{n + 1} = 1 + \frac{1}{x_n} \).

Zeigen Sie, dass gilt: \( |x_n - g| \leq \frac{1}{g^n} \)

Hinweis: Vollständige Induktion


c) Zeigen Sie, dass gilt: \( x_n \rightarrow^{n \to \infty} g \) 


Persönliche Anmerkung: Ich hoffe, dass es ok ist mehrere Teilaufgaben zu posten

von

2 Antworten

+1 Daumen

Leider sagst du nicht womit du Probleme hast. Bereitet dir a) bereits Probleme. Da könnten dir Gleichungslöser wie die App Photomath hilfreich zur Seite stehen.

a)

g = 1 + 1/g

mit g multiplizieren

g^2 = g + 1

pq-formel anwenden

g^2 - g - 1 = 0 --> g = √5/2 + 1/2 = 1.618033988

von 303 k

Oh mein Gott, ich sah wohl vor lauter Bäumen den Wald kaum...

Grundsätzlich habe ich mit so einfachen Gleichungen überhaupt keine Probleme nur irgendwie habe ich da nicht an eine Gleichung gedacht und es mir unnötig verkompliziert.

bei b) und c) fehlt mir da jeweils der Ansatz. Der Ind. Beweis scheint so ungewohnt "anders".

b) ist doch eine einfache vollständige Induktion.

Du machst zwei Sachen

1. Du zeigst das die das die Ungleichung für ein n gilt. Das kann hier n = 0. Du kannst es auch noch für n = 1 zeigen.

2. Als nächstes zeigst du das, wenn die Ungleichung für ein n gilt, dass sie auch für n + 1 gilt.

Probier das mal. Das ist nicht so schwer.

+1 Daumen

a)

\(g=1+\dfrac{1}{g} \\
\Leftrightarrow g-1=\dfrac{1}{g} \\
\Leftrightarrow (g-1)\cdot g = 1 \\
\Leftrightarrow g^2-g-1=0\\
\rightarrow g_{1,2}=0.5\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

(neg. Lösung entfällt)

von 11 k

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