Berechnen von Orthonormalbasis von Lösungsraum

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie eine Orthonormalbasis des Lösungsraums U des homogenen linearen Gleichungssystems

−1/2 a + b − c + 2 d = 0

        a − 2 b − 2c     = 0

sowie den Komplementären Unterraum U⊥ im R4 durch Angabe irgendeiner Basis.

.... Hilfe ? Ansatz ?

Answer 1

Hallo

1. GS lösen

2. auf die Lösungsvektoren Gram-Schmidt  anwenden (du kannst 2 Variable frei wählen z.B. c=d=1 und b =0 und b=c=0 b=1)

3. zu R⁴ ergänzen das ist dann der zweite Teil

Gruß lul

Comments

Gleichungssysteme lösen:

$\begin{pmatrix} -0,5 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -2 &0 \end{pmatrix}$
wird zu

$\begin{pmatrix} 1&-2&2&-4\\0&0&-4&4 \end{pmatrix}$

daraus folgt:

a -2b+2c  -4d = 0
         -4c +4d = 0

              c-d   = 0

-> c =d

ersetze d durch c

a - 2b+2c -4c = 0
a - 2b -2c       = 0

-> a =2b + 2c

 
Für allgemeine Form; setze:

c=d = s
b     = t
a     = 2t + 2s

Lösungsvektoren...

hab hier is mir nicht mehr ganz klar wie es weiter geht,

für das gram-Schmidt verfahren brauch ich ja 2 Vektoren.

kann auch leider nichts mit dem Hinweis anfangen für a,b, etc einzusetzen :(

 

x =  (2t+2s, t , s , s)

x = u + v
x=  t(2, 1, 0, 0) + s(2, 0, 1, 1)
... ??

noch nen Hinweis :-) ... oder war das bis hier eh schon alles falsch ?

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Hallo

 ja die 2 von dir gewählten Vektoren, (2,1,0,0) und (2,0,1,1) bilden eine Basis denn du kannst ja alle Lösungen als Linearkombination erzeugen.

damit jetzt los nach G-S

Gruß lul

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okay, also Gram - Schmidt

u = $\begin{pmatrix} 2\\1\\0\\0 \end{pmatrix}$  v = $\begin{pmatrix} 2\\0\\1\\1 \end{pmatrix}$

Berechnen der Orthogonalen Vektoren u' und v'

u' = u = $\begin{pmatrix} 2\\1\\0\\0 \end{pmatrix}$

v' = v - $\frac{⟨v.u'⟩}{⟨u'.u'⟩}$ · u'

v' = $\begin{pmatrix} 2\\0\\1\\1 \end{pmatrix}$ - $\frac{4}{5}$ · $\begin{pmatrix} 2\\1\\0\\0 \end{pmatrix}$

v' = $\begin{pmatrix} \frac{2}{5}\\\frac{-4}{5}\\1\\1 \end{pmatrix}$

so...

zum komplementären Unterraum muss ich erstmal schauen, da hab ich absolut keine Ahnung bisher wie man das macht.

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Hallo

 du brauchst einfach irgend 2 Vektoren die sich nicht voneinander und von u' und v' lin unabhängig sind. Zuerst kann man ja mal die einfachsten versuchen  wie z.B.(0,0,0,1) jetzt du noch einen und dann wieder G-S oder direkt einen der auf u' und v' senkrecht steht.

Gruß lul

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also der Komplementäre Unterraum U⊥ in R4 durch Angabe einer Basis könnte

z.B so aussehen:

Basis_U⊥ = { (0,0,0,1) , (0,1,0,0) }

Gram-Schmidt auf die neuen Vektoren ergibt wieder die gleichen.

hmm, dann müsste ich hiermit fertig sein?

Auf jeden Fall schon mal nen großes danke : )