Aufgabe Ebene und Gerade. Ist mein Lösungsansatz richtig?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Schnittpunkte der Ebene mit dem Punkt

$$ p = \left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) $$

und der Normalenvektor

$$ \vec{n} = \left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) $$

und der Geraden

$$ g(t) = \left(\begin{array}{l}{t+3} \\ {0} \\ {2t}\end{array}\right) $$

Ansatz:

Ebenengleichung:

ax + by + cz = d

Normalenvektor n eingesetzt:

1x + 1y + 0z = d

x + y = d

Punkt der Ebene eingesetzt:

1 + 1 = 2

d = 2

Somit ist mein Ebenengleichung:

x + y = 2

Nun habe ich aus der Geraden einen Punkt rausgenommen

$$ g: \vec{t}= \left(\begin{array}{l}{?} \\ {?} \\ {?}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{l}{t*?} \\ {t*?} \\ {t*?}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{t+3} \\ {0} \\ {2t}\end{array}\right)$$

$$ g: \vec{t}= \left(\begin{array}{l}{3} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{l}{t*1} \\ {t*0} \\ {t*2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{t+3} \\ {0} \\ {2t}\end{array}\right)$$

Da ich nun mein Stützvektor

$$ \vec{P_G} =  \left(\begin{array}{l}{3} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)$$

habe kann ich mit den vorhandenen Daten ja die Hesseform verwenden:

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{Ebenengleichung}{|\vec{n}|}$$

$$ |\vec{n}| = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} $$

$$ |\vec{n}| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}} $$

$$ |\vec{n}| = \sqrt{2} $$

Einsetzen Ebenengleichung und |n|

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{x+y-2}{\sqrt{2}} $$

Einsetzen P_G :

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{3+0-2}{\sqrt{2}} $$

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Ist die Lösung richtig oder muss ich hier noch anders ran?

Answer 1

Du hast den Abstand von P zur Ebene bestimmt, aber nicht den Schnittpunkt.

Für diesen setze die drei Komponenten der Geraden in die Ebene ein, also

(t+3; 0 ; 2t ) in x+y=2

Das gibt

  t+3 + 0 = 2

            t = -1

Also ist der Schnittpunkt

( 2 ; 0 ; -2 )

Answer 2

Deine Ebene ist richtig.

E: x + y = 2

dort setzt du die Gerade ein

(t + 3) + (0) = 2 --> t = -1

Schnittpunkt ist also

S = [(-1) + 3, 0, 2·(-1)] = [2, 0, -2]

Warum du den Abstand berechnet hast ist mir unklar.

Comments

Du hast vollkommen recht.

Warum ich die Aufgabenstellung nicht mal richtig gelesen habe, ist mir bis jetzt unklar...

Zu viel um die Ohren anscheinend.