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Aufgabe:

Berechnen Sie die Schnittpunkte der Ebene mit dem Punkt

$$ p = \left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right) $$

und der Normalenvektor

$$ \vec{n} = \left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) $$

und der Geraden

$$ g(t) = \left(\begin{array}{l}{t+3} \\ {0} \\ {2t}\end{array}\right) $$


Ansatz:

Ebenengleichung:

ax + by + cz = d

Normalenvektor n eingesetzt:

1x + 1y + 0z = d

x + y = d

Punkt der Ebene eingesetzt:

1 + 1 = 2

d = 2

Somit ist mein Ebenengleichung:

x + y = 2


Nun habe ich aus der Geraden einen Punkt rausgenommen

$$ g: \vec{t}= \left(\begin{array}{l}{?} \\ {?} \\ {?}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{l}{t*?} \\ {t*?} \\ {t*?}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{t+3} \\ {0} \\ {2t}\end{array}\right)$$


$$ g: \vec{t}= \left(\begin{array}{l}{3} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{l}{t*1} \\ {t*0} \\ {t*2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{t+3} \\ {0} \\ {2t}\end{array}\right)$$


Da ich nun mein Stützvektor

$$ \vec{P_G} =  \left(\begin{array}{l}{3} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)$$

habe kann ich mit den vorhandenen Daten ja die Hesseform verwenden:

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{Ebenengleichung}{|\vec{n}|}$$


$$ |\vec{n}| = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} $$

$$ |\vec{n}| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}} $$

$$ |\vec{n}| = \sqrt{2} $$


Einsetzen Ebenengleichung und |n|

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{x+y-2}{\sqrt{2}} $$


Einsetzen PG :

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{3+0-2}{\sqrt{2}} $$

$$ d(\vec{P_G}; E) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$



Ist die Lösung richtig oder muss ich hier noch anders ran?

von

2 Antworten

+1 Daumen

Du hast den Abstand von P zur Ebene bestimmt, aber nicht den Schnittpunkt.

Für diesen setze die drei Komponenten der Geraden in die Ebene ein, also

(t+3; 0 ; 2t ) in x+y=2

Das gibt

  t+3 + 0 = 2

            t = -1

Also ist der Schnittpunkt

( 2 ; 0 ; -2 )

von 171 k
0 Daumen

Deine Ebene ist richtig.

E: x + y = 2

dort setzt du die Gerade ein

(t + 3) + (0) = 2 --> t = -1

Schnittpunkt ist also

S = [(-1) + 3, 0, 2·(-1)] = [2, 0, -2]

Warum du den Abstand berechnet hast ist mir unklar.

von 295 k

Du hast vollkommen recht.

Warum ich die Aufgabenstellung nicht mal richtig gelesen habe, ist mir bis jetzt unklar...

Zu viel um die Ohren anscheinend.

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