Antwort mit KI erzeugt
Bild der Abbildung \(f\)
Das Bild einer Funktion \(f: M \rightarrow N\) ist die Menge aller Werte, die durch \(f\) angenommen werden, wenn man alle Elemente aus \(M\) durch \(f\) abbildet. Für die gegebene Funktion \(f(x) = x^2 + ax\) mit \(a \in \mathbb{R}\), \(M = \mathbb{R}\) und \(N = \mathbb{R}\), wollen wir das Bild bestimmen.
Die Funktion ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel ist. Die Richtung und Form der Parabel hängen vom Vorzeichen und Betrag von \(a\) ab. Der Scheitelpunkt kann durch Umformung in die Scheitelpunktform oder durch die Ableitung gefunden werden.
Die allgemeine Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel \(y = ax^2 + bx + c\) ist \(x = -\frac{b}{2a}\). In unserem Fall ist \(b = a\) und die Koeffizienten sind \(\{a, a, 0\}\), was uns \(x = -\frac{a}{2}\) gibt.
Einsetzen in die Funktion für \(x\) liefert den \(y\)-Wert des Scheitelpunkts:
\(
y = \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{a}{2}\right) = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = -\frac{a^2}{4}
\)
Der Scheitelpunkt der Parabel ist also \(\left(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4}\right)\).
Für \(a > 0\), öffnet sich die Parabel nach oben, und der tiefste Punkt ist der Scheitelpunkt. Dies bedeutet, dass das Bild von \(f\) in diesem Fall der Wertebereich \(y \geq -\frac{a^2}{4}\) ist.
Für \(a < 0\), gilt dasselbe wie für \(a > 0\), denn die Öffnungsrichtung der Parabel ändert sich nicht, nur ihre Position. Also ist das Bild wiederum \(y \geq -\frac{a^2}{4}\).
Für \(a = 0\) reduziert sich die Funktion auf \(f(x) = x^2\), und ihr Bild ist \(y \geq 0\).
Zusammenfassung: Das Bild von \(f\) für jedes \(a \in \mathbb{R}\) ist \(y \geq -\frac{a^2}{4}\).
Urbildmenge \(f^{-1}({b})\)
Die Urbildmenge von \(b\) unter \(f\), gegeben \(b\) ist im Bild von \(f\), ist definiert als die Menge aller \(x \in \mathbb{R}\), für die \(f(x) = b\). Das bedeutet, wir müssen die Gleichung lösen:
\(
x^2 + ax - b = 0
\)
Dies ist eine quadratische Gleichung in \(x\). Die Lösungen können durch die Anwendung der quadratischen Formel gefunden werden:
\(
x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(-b)}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 4b}}{2}
\)
Die Urbildmenge \(f^{-1}({b})\) besteht also aus den Punkten \(\frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 4b}}{2}\), vorausgesetzt, \(b\) ist innerhalb des Bildes von \(f\), d.h., \(b \geq -\frac{a^2}{4}\).
