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Die Aufgabe lautet:

Es seien U1 und U2 Unterräume des Vektorraums V. Ferner sei auch U1 ∪ U2 ein Unterraum von V. Zeigen Sie, dass dann U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1 gilt.

Kann mir jemand erklären, wie man hier vorgehen muss?

:)

von

Wenn Du bei der Aufgabe nicht durchblickst, dann musst Du Dir das Verstaendnis eben erarbeiten. Dazu geht man in den Anschauungsraum (V = ℝ2 oder V = ℝ3) und malt Bilder. (Echte) Unterraeume sind da Geraden oder Ebenen durch den Nullpunkt.

1 Antwort

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Es seien U1 und U2 Unterräume des Vektorraums V. Ferner sei auch U1 ∪ U2 ein Unterraum von V.

Zeigen Sie, dass dann U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1 gilt.

Im Allgemeinen ist ja U1 ∪ U2 kein Unterraum von V, weil z.B. die Summe zweier Elemente nicht

immer wieder darin ist.   Etwa alle  (x,0) mit x∈ℝ bilden einen Unterraum von ℝ^2 und

 alle  (0,x) mit x∈ℝ bilden einen Unterraum von ℝ^2 , aber sowas wie (1;1) ist nicht drin, müsste

es aber als Summe von (1;0) und (0;1).

Versuche mal: indirekten Beweis. Es sei weder  U1 ⊆ U2 noch U2 ⊆ U1 . Dann gibt es ein

y , das  in U1 und nicht in U2  ist und ein x , das nicht in U1 aber in U2  ist .

Betrachte jetzt die Summe:  wäre sie in  U1 ∪ U2 , dann müsste sie  in U1 oder in U2 sein.

Daraus kann man einen Widerspruch herleiten:

Wäre x+y in U1, dann (weil y∈U1, also auch -y ∈ U1)  wäre auch   (x+y) + (-y) = x in U1

im Widerspruch zur Annahme:   x ∉ U1.

Entsprechend führst du auch  x+y in U2 ad Absurdum.

Damit ist x+y ∉  U1 ∪ U2 im Widerspruch zur Annahme, dass dies ein Unterraum sei.

von 270 k 🚀

Danke dir, das muss ich mir noch mal in Ruhe auf der Zunge zergehen lassen!

Grüße :)

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