Ist die Funktion stetig? ist sie auch differenzierbar? g(x): = x^{2}sin (1/x), x ≠ 0, und 0 sonst

Question

Ist die Funktion

g : R → R, g(x) = {x²sin (1/x)  x ≠ 0
                             0                 x = 0
stetig? Ist sie auch differenzierbar? Bestimmen Sie ggf. die Ableitung.

Um jetzt die Stetigkeit zu prüfen, würde ich zunächst 0 für x einsetzen und den Grenzwert zu berechnen und dann links und rechtsseitigen Grenzwert berechnen. nur wenn ich jetzt in die obere Funktion 0 einsetze, teile ich ja durch 0. Das ist ja nicht möglich. Ist die Funktion dann dadurch auch nicht stetig und nicht differenzierbar?

Comments

Wie genau sollte man bei x=0 hinschauen?
~plot~ x^2*sin (1/x);[[-1|1|-0.2|0.2]];x^2;-x^2 ~plot~

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Hast du die Frage korrekt und wörtlich hingeschrieben?

Answer 1

Stetigkeit
x^2 * sin (1/x)

lim x -> 0
1 / 0 = unendlich
sin ( unendlich ) nicht definiert.
Der Funktionswert schwankt aber bis in
alle Ewigkeiten zwischen -1 und +1

lim x -> 0 [  x^2 ] = 0

0 * ( -1 ..1 ) = 0

Der Grenzwert ist also 0.

Die Funktion ist für x = 0 mit null definiert

Die Funktion ist also stetig.

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Meine Gedanken zur Differenzierbarkeit
Differenzierbar : Die Steigung links und rechts
eines Werts ist dieselbe und die Stetigkeit ist
gegeben.

g ( x ) = x^2 * sin (1/x)
Steigung
g ´( x ) = 2 * x +  x^2  * cos ( 1/x ) * ( -1/x^2 )
g ´( x ) = 2 * x  - cos ( 1/x )

x geht gegen 0
1 / 0 geht gegen unendlich
cos ( 1 / unendlich ) ist nicht definiert
osziliiert aber zwischen -1 und +1

lim x -> 0 : g ´( 0 ) = 2 * 0  - cos ( 1/x )
g ´( 0 ) = - cos ( 1/0 )
lim x -> 0 [  - cos ( 1/ x ) ] : nicht definiert

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Die Ableitung ist falsch.

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Korrektur
Steigung
g ´( x ) = 2 * x +  x^2  * cos ( 1/x ) * ( -1/x2 )
g ´( x ) = 2 * x  - cos ( 1/x )
sondern
g ´( x ) = 2 * x * sin (1/x ) +  x^2  * cos ( 1/x ) * ( -1/x2 )
g ´( x ) = 2 * x  sin(1/x) - cos ( 1/x )

lim x -> 0 [ 2 * x  sin(1/x) ] = 0
ändert aber nichts gegenüber
lim x -> 0 [ 2 * x  ] = 0

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Was heißt das für die Differenzierbarkeit?

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Zwecks Vermeidung von Denkfehlern könnte der Artikel

https://www.mathe-online.at/mathint/diff2/i.html#Stetigdiffbar

hilfreich sein...

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Gustav hat zwar nicht nach "stetig differenzierbar" gefragt. Dennoch https://www.mathe-online.at/mathint/diff2/i.html#Stetigdiffbar ist ein wichtiger Link für weitere Fragen zu dieser Funktion.

Gleiche Funktion schon einmal hier https://www.mathelounge.de/305246/differenzierbarkeit-stetig-f-x-x-2-sin-1-x-fur-x0-und-f-0-0 mit einer Aufgabe b) .