Komplexe Zahlen benötige Überprüfung der Lösung. Berechnung von (z1 + z2) * z1/z2

Question

Berechnung von (z1 + z2) * z1/z2

Hallo

Ich bräuchte eine kurze Überprüfung ob meine Lösung stimmt

$$z_{1}=2 \cdot \sqrt{3}+2 i$$

$$z_{2}=2 \cdot[\cos (5 \pi / 2)+i \sin (5 \pi / 3)]$$


Aufgabe: $$\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot \frac{z_{1}}{z_{2}}$$

Lösungsansatz:
$$z_{1}+z_{2}=2 \cdot \sqrt{3}+2 i+2 \cdot\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{3}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right)=\right.$$
$$\begin{array}{l}{=2 \sqrt{3}+2 i+1-\sqrt{3} i=1+2 \sqrt{3}+2 \cdot \sqrt{3} i} \\ {=4,464+0,268i}\end{array}$$

$$\frac{z1}{z2}=\frac{2 \sqrt{3}+2 i}{1-\sqrt{3} i} \cdot \frac{1+\sqrt{3} i}{1+\sqrt{3} i}=$$
$$=\frac{2 \sqrt{3}+6 i+2 i+2 \sqrt{3} i^{2}}{1-3 i^{2}}=\frac{2 \sqrt{3} i^{2}+8 i+2 \sqrt{3}}{1-3 i^{2}}$$
$$\begin{array}{l}{=\frac{2 \sqrt{3} i^{2}+8 i+2 \sqrt{3}}{1+3}=\frac{-2 \sqrt{3}+8 i+3 \sqrt{3}}{4}} \\ {=\frac{8 i}{4}=2 i}\end{array}$$

Daraus folgt:
$$\begin{aligned}\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot \frac{z_{1}}{z_{2}} &=(1+2 \sqrt{3}+2-\sqrt{3} ;) \cdot(0+2 i)=1+| 2 \sqrt{6} i-2-2 \sqrt{3} \\ &=2-2 \sqrt{3}+1+2 \sqrt{6} i \end{aligned}$$

Comments

In der Aufgabenstellung steht $\cos \left( \frac{5 \pi}{2} \right)$, Du rechnest aber mit $\cos \left( \frac{5 \pi}{3} \right)$. Was ist richtig?

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Verdammt da hab ich mich in der Aufgabe verschrieben.

Soll $$\cos \left( \frac{5 \pi}{3} \right)$$ heißen

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 (z1 + z2) * z1/z2         | vereinfachen

= (z1)²/z2 + 1

und erst dann rechnen.

Answer 1

Meine Berechnung:

Comments

Danke

Dacht mir schon, dass ich irgendwo wieder einen Fehler  gemacht habe

Answer 2

Bei der Summe ist was falsch, da gibt es

1+2√3  + ( 2 - √3) i

Beim Endergebnis also

2√3  - 4  +  ( 4√3  + 2 ) * i

Answer 3

Ich denke hier ist ein Fehler

$$2 \sqrt{3} + 2i + 1 - \sqrt{3} i = 1 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} i$$

Ebenso hier

$$\begin{aligned}\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot \frac{z_{1}}{z_{2}} &=(1+2 \sqrt{3}+2-\sqrt{3} ;) \cdot(0+2 i)=1+| 2 \sqrt{6} i-2-2 \sqrt{3} \\ &=2-2 \sqrt{3}+1+2 \sqrt{6} i \end{aligned}$$

Es muss heissen

$$\begin{aligned}\left(z_{1}+z_{2}\right) \cdot \frac{z_{1}}{z_{2}} &=(1+2 \sqrt{3}+2i-i\sqrt{3} ) \cdot(0+2 i) \end{aligned}$$