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Aufgabe:

Durch Wechseln zu Polarkoordinaten zeigen, dass gilt:

a)

R2e(x2+y2)d(x,y)=002πrer2dθdr \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d(x, y)=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 \pi} r e^{-r^{2}} d \theta d r

b)

R2e(x2+y2)d(x,y)=π \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d(x, y)=\pi

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Aloha :)

Die kartesischen Koordinaten (x,y)(x,y) kannst du durch Polarkoordinaten (r,φ)(r,\varphi) wie folgt ausdrücken:(xy)=(rcosφrsinφ)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\end{array}\right)

Wegen (x,y)R2(x,y)\in\mathbb{R}^2 wird die ganze xyxy-Ebene abgetastet, das heißt, in Polardarstellung liegt der Radius im Intervall [0;][0;\infty] und der Winkel φ[0;2π]\varphi\in[0;2\pi]:(xy)=(rcosφrsinφ);r[0;];φ[0;2π]\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\end{array}\right)\quad;\quad r\in[0;\infty]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]

Beim Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten ändert sich das "Volumen" des Flächenelements, was durch die Determinante der Übergangsmatrix berücksichtigt wird:d(x,y)=det((x,y)(r,φ))d(r,φ)=det(xrxφyryφ)d(r,φ)d(x,y)=\det\,\left(\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi)}\right)\,d(r,\varphi)=\det\,\left(\begin{array}{c}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\varphi}\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi}\end{array}\right)\,d(r,\varphi)=det(cosφrsinφsinφrcosφ)d(r,φ)=(rcos2φ+rsin2φ)d(r,φ)=rd(r,φ)\quad=\det\,\left(\begin{array}{c}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\ \sin\varphi & r\cos\varphi\end{array}\right)\,d(r,\varphi)=\left(r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\right)\,d(r,\varphi)=r\,d(r,\varphi)Jetzt hast du alles, was du brauchst, um die Substitution durchzuführen:R2e(x2+y2)d(x,y)=0dx0dye(x2+y2)=02πdφ0drrer2=\int\limits_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,d(x,y)=\int\limits_0^\infty dx\int\limits_0^\infty dy\,e^{-(x^2+y^2)}=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^\infty dr\,re^{-r^2}=2π[12er2]0=2π(0(12))=π\quad2\pi\cdot\left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^\infty=2\pi\left(0-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\pi

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Es bestehen jetzt noch 2 folge Aufgaben.

3.

R2e(x2+y2)d(x,y)=(ex2dx)2 \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d(x, y)=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)^{2}

4.

ex2dx=π \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi}

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Hi,

zu (a)

mit x=rcos(ϕ) x = r \cos(\phi) und y=rsin(ϕ) y = r \sin(\phi) ergibt sich

x2+y2=r2 x^2+y^2=r^2 also

R2e(x2+y2)dxdy=002πer2rdrdϕ \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} dx dy = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-r^2} r dr d\phi

wegen det(xrxϕyryϕ)=det(cos(ϕ)rsin(ϕ)sin(ϕ)rcos(ϕ))=r \det \begin{pmatrix} x_r & x_\phi \\ y_r & y_\phi \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -r \sin(\phi) \\ \sin(\phi) & r \cos(\phi) \end{pmatrix} = r

Zu (b)

Jetzt u=r2 u = r^2 substituieren, ergibt dudr=2r \frac{du}{dr} = 2r

002πer2rdrdϕ=2π0er2rdr=2π012eudu=π \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} e^{-r^2} r dr d\phi =2\pi \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr = 2\pi \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} e^{-u} du = \pi

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Es bestehen noch 2 folgende Aufgaben:

3.

R2e(x2+y2)d(x,y)=(ex2dx)2 \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d(x, y)=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)^{2}

4.

ex2dx=π \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi}

Hi,

R2e(x2+y2)dxdy=Rex2dxRey2dy=(ex2dx)2=π \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} dx dy = \int_{\mathbb{R}} e^{-x^{2}} dx \int_{\mathbb{R}} e^{-y^{2}} dy = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right)^{2} = \pi

Daraus folgt sofort ex2dx=π \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} dx = \sqrt{\pi}

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