Aloha :)
Die kartesischen Koordinaten (x,y) kannst du durch Polarkoordinaten (r,φ) wie folgt ausdrücken:(xy)=(rcosφrsinφ)
Wegen (x,y)∈R2 wird die ganze xy-Ebene abgetastet, das heißt, in Polardarstellung liegt der Radius im Intervall [0;∞] und der Winkel φ∈[0;2π]:(xy)=(rcosφrsinφ);r∈[0;∞];φ∈[0;2π]
Beim Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten ändert sich das "Volumen" des Flächenelements, was durch die Determinante der Übergangsmatrix berücksichtigt wird:d(x,y)=det(∂(r,φ)∂(x,y))d(r,φ)=det(∂r∂x∂r∂y∂φ∂x∂φ∂y)d(r,φ)=det(cosφsinφ−rsinφrcosφ)d(r,φ)=(rcos2φ+rsin2φ)d(r,φ)=rd(r,φ)Jetzt hast du alles, was du brauchst, um die Substitution durchzuführen:R2∫e−(x2+y2)d(x,y)=0∫∞dx0∫∞dye−(x2+y2)=0∫2πdφ0∫∞drre−r2=2π⋅[−21e−r2]0∞=2π(0−(−21))=π