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Aufgabe:

Strecke BC=8cm

beta=50 Grad

Strecke CA=5cm



Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass dieses Dreieck nicht konstruierbar ist, kann es jedoch nicht begründen.

Würde mich über eine Antwort sehr freuen!


LG

Pete

von

@Pete123 Leider fehlt eine vollständig formulierte Frage. Heisst die Fragestellung nun

Konstruiere ein Dreieck / Dreiecke aus AC, BC und β ? 

Oder kann man aus AC, BC und β ein Dreieck konstruieren ?

Beides solltest du nicht mit "konstruierbar" abkürzen, da konstruierbar ein definierter Fachbegriff ist.

4 Antworten

+2 Daumen

Hallo Pete,

Ich unterstelle mal, dass Dir der Sinussatz bekannt ist. Hier angewendet bedeutet er, dass $$\frac{\sin \alpha}{|BC|} = \frac{\sin \beta}{|CA|}$$Daraus folgt dann mit den konkreten Daten$$\sin \alpha = \frac {|BC|}{|CA|} \sin \beta = \frac{8\text{cm}}{5\text{cm}} \sin 50° \approx 1,23 \gt 1$$Das Ergebnis ist größer als \(1\). Der Sinus kann aber keine Werte annehmen, deren Betrag größer als \(1\) ist. Also gibt es kein Dreieck mit diesen Werten.


Geometrisch betrachtet sieht es so aus:

Untitled3.png  

obiges Bild zeigt den Versuch einer Konstruktion. Der Punkt \(A\) müsste sowohl auf dem blauen Kreis als auch auf der blauen Geraden liegen. Diese schneiden sich aber nicht, also existiert auch der Punkt \(A\) nicht.


Anders ausgedrückt: Jede Seite in einem Dreieck muss mindestens so lang sein, wie jede Höhe mit der sie ein Ende gemeinsam hat.

Das folgt aus dem Umstand, dass in einem rechtwinkligen Dreieck jede Kathete nicht länger sein kann als die Hypotenuse. Die Seite \(|CA|\) wäre hier die Hypotenuse und die schwarz gestrichelte Strecke \(h_c\) die Kathete im (fiktiven) rechtwinkligen Dreieck \(\triangle AH_cC\) (nicht gezeichnet!).

Mit \(|BC|\) und \(\beta\) (der blaue Winkel) ist die Höhe \(h_c\) bereits gegeben:$$h_c = |BC| \cdot \sin \beta =8\text{cm} \cdot \sin 50° \approx  6,13 \text{cm} \gt 5\text{cm} = |CA|$$ und \(h_c\) ist länger als \(|CA|\). Also ist das Dreieck nicht konstruierbar.

von 19 k

Hallo Werner, dir muss oben ein Rechenfehler (oder Tippfehler) unterlaufen sein.

8cm/5cm ist (nur) 1,6. Wenn man das mit dem Sinus von irgendeinem Winkel multipliziert, kann nicht so etwas Größeres wie 2.04 rauskommen.

8cm/5cm ist (nur) 1,6

stimmt .. kam mir gleich zu viel vor ;-). Danke für den Hinweis.

+1 Daumen

Ich möchte mal an die Kongruenzsätze verweisen.

Das gegebene Dreieck

a = 8 cm
b = 5 cm und 
β = 50°

erfüllt leider keinen Kongruenzsatz. Für den Kongruenzsatz Ssw müsste die längere der gegebenen Seiten dem Winkel gegenüberliegen. Das ist hier jedoch nicht erfüllt.

Es gibt dazu auch viele Videos auf Youtube.


von 295 k

Anhand der Kongruenzsätze kannst du nur sagen, ob die Konstruktion eindeutig ist oder nicht. D.h. es kann auch zwei Lösungen geben.

Ok. Vielleicht hätte ich dazu schreiben sollen. Wenn es keinen Kongruenzsatz gibt ist das Dreieck nicht eindeutig konstruierbar. Bei Dreiecken geht es jedoch meist um eine eindeutige Konstruktion.

Hier ist es aber nichtmal uneindeutig zu konstruieren sondern überhaupt nicht. Das liegt daran, weil die Länge b sehr klein ist.

Wenn man von einem rechtwinkligen Dreieck ausgeht, kann man bestimmen wie groß der Winkel maximal sein kann bzw. welche Seitenlänge b mindestens gegeben sein muss.

SIN(β) = 5/8 --> β = 38.68°

Damit ist es nicht konstruierbar weil 50° > 38.68° sind.

SIN(50°) = b/8 --> b = 6.128

Damit ist es nicht konstruierbar weil 5 cm < 6.128 cm sind.

0 Daumen

Wie sollte man ein 50°-Winkel konstruieren und bei B antragen?

von 30 k

Ist CA zu kurz oder denkst du, dass 50° nicht konstruiert werden kann?

Letzteres.

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Gefragt war nach der Konstruktion (Zirkel und Lineal)? Wie soll man einen 50°Winkel konstruieren?

http://www.moltke.de/sites/default/files/node-attachments/seite/3643/dreieck.pdf

Bei Konstruktionsaufgaben in der Schule sind typischerweise die gegebenen Grössen bereits vorhanden und müssen nicht konstruiert sondern nur übertragen werden (Alternativ darf man Lineal und Geodreieck nutzen für die gegebenen Grössen).

Ist aber konkret nach "konstruierbar" gefragt, darf man nur Zirkel und Lineal benutzen und das geht bei 50° tatsächlich nicht mit Zirkel und Lineal. Begründungen findest du im Netz. Start der Suche z.B. bei: https://de.wikipedia.org/wiki/Winkel#Winkelkonstruktion

Der Begriff "konstruierbar" in der Überschrift ist daher bei dieser Frage vermutlich irreführend.

Vielleicht gibt es aber auch aus andern Gründen gar kein solches Dreieck.

Lineale in der Schule haben eine Maßeinteilung. Davon bin ich ausgegangen.

Zudem lernt man auch, wie man bestimmte Winkel konstruiert.

Daher ist der Gedanke nicht völlig aus der Luft gegriffen, denke ich.

Die Aufgabe verlangt doch, das Dreieck zu konstruieren (wenn möglich), aber nicht den Winkel oder die Strecken. Zwei Strecken und der Winkel sind gegeben (s.o.). Die Frage ist demnach, ob das Dreieck konstruierbar ist (mit Zirkel und Lineal)

Ich kenne es auch nur genau so aus dem Schulunterricht.

Lineale in der Schule haben eine Maßeinteilung. Davon bin ich ausgegangen.

Ja - und Geodreiecke auch (eine Winkeleinteilung). Und wenn von Konstruktion mit Zirkel und Lineal die Rede ist, so ist damit nicht die Anwendung der Maßeinteilung auf dem (physikalischen) Lineal gemeint.

0 Daumen

Na super. Ich habe gerade eine geometrisch-konstruktive Antwort zu einer der beiden Fragen abgeschickt (um nebenbei den Unfug von Gast2016 richtigzustellen), und die ist im Nirvana verschwunden, weil währenddessen beide Fragen zusammengeführt worden.

Sei es drum, man kann auch rechnerisch argumentieren.

Mit den vorhandenen Seitenlängen AC=b und BC = a und dem Winkel β kann man versuchen, sin α  über den Sinussatz auszurechnen. Dabei ergibt sich für sin α ein Wert >1.

Schlussfolgerungen überlasse ich der werten Leserschaft.

von 5,9 k

Konstruiere aus AC, BC und β bedeutet:

Du hast (z.B. auf einem Blatt Papier) zwei Strecken mit konkreter Länge und den vorgegebenen Winkel VORLIEGEN.

Die Konstruktion besteht darin, diese vorgegeben Größen mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals in beliebige andere Bereiche des Zeichenblattes ZU ÜBERTRAGEN.

Unter Konstruktion verstehe ich etwas anderes, eben dass man nur Lineal und Zirkel hat und die Angaben der Maße.

Doch wenn das anders gemeint ist, solls mir auch recht sein.

"Unter Konstruktion verstehe ich etwas anderes, eben dass man nur Lineal und Zirkel hat und die Angaben der Maße."

Dann überlege konsequenterweise mal, wie du ohne "Vorlage" eine Strecke von 5 cm Länge konstruiert mit einem Zirkel und einem Lineal (ohne jegliche Maßeinteilung des Lineals).

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