0 Daumen
536 Aufrufe

Aufgabe:

Seien g,h: 2→ℝ beschränkt und sei f: ℝ2→ℝ durch

f(x,y):= x2g(x,y)+y2h(x,y)+2x-3y

definiert.

(a) Zeige, dass f in (0,0) differenzierbar ist.


Problem/Ansatz:

Was mich total verwirrt sind diese Funktionen g und h in der Funktion f.

Weiß jemand wie das geht und könnte mir zeigen, wie ich diese Aufgabe lösen kann?

 

Avatar von

Sorry, Denkfehler meinerseits

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Du betrachtest einfach nur die Differenzenquotienten nach x und y. Hier beispielhaft für die Ableitung nach x:

$$f_x(0, 0) = \lim\limits_{\delta \to 0} \frac{f(\delta, 0) - f(0, 0)}{\delta} = \lim\limits_{\delta \to 0} \frac{\delta^2g(\delta, 0) + 2\delta}{\delta} = \lim\limits_{\delta \to 0} = \delta g(\delta, 0) + 2 = 2 $$

Wobei der letzte Schritt aus der Beschränktheit von g folgt, da somit ein $$a \in \mathbb{R} \text{ existiert mit } g(x, 0) \leq a \text{ für alle } x \in \mathbb{R} \Rightarrow \lim\limits_{\delta \to 0} \delta g(\delta, 0) \leq \lim\limits_{\delta \to 0} \delta a = 0$$

Die Beschränktheit ist notwendig, damit g in (0, 0) nicht schneller wächst als deine Umgebung kleiner wird. Nicht funktionieren würde es z.B. mit $$g(x, y) := \frac{1}{x^2}$$

Avatar von

Du betrachtest einfach nur die Differenzenquotienten nach x und y

Wusstest du, dass die Existenz der partiellen Ableitungen kein Garant für Differenzierbarkeit ist ? (Das trifft allerdings für stetige partielle Ableitungen zu.)

Wusstest du, dass die Existenz der partiellen Ableitungen kein Garant für Differenzierbarkeit ist ? (Das trifft allerdings für stetige partielle Ableitungen zu.)

Danke für den Hinweis, man muss jetzt noch mit Hilfe der Beschränktheit noch zeigen, dass das totale Differential konvergiert.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community