Aloha :)
Im ersten Schritt setzt du die x-Werte in die Parabelgleichung: p(x)=a0+a1x+a2x2 ein:
p(−1)p(0)p(1)p(2)====1⋅a01⋅a01⋅a01⋅a0−1⋅a1+0⋅a1+1⋅a1+2⋅a1+1⋅a2+0⋅a2+1⋅a2+4⋅a2Das kannst du als Matrix auf die linke Seite einer Gleichung schreiben. Auf die rechte Seite der Gleichung kommen die gemessenen y-Werte als Vektor:
⎝⎜⎜⎜⎛1111−10121014⎠⎟⎟⎟⎞⋅⎝⎛a0a1a2⎠⎞=⎝⎜⎜⎜⎛3124⎠⎟⎟⎟⎞Du hast hier 4 Gleichungen, aber nur 3 Unbekannte. Das ist ein sog. überbestimmtes Gleichungssystem. Zur Lösung könntest du z.B. die ersten 3 Gleichungen wählen, damit die 3 Unbekannten a0,a1,a2 bestimmen und auf dein Glück hoffen, dass diese 3 Unbekannten dann auch die 4-te Gleichung erfüllen. Du merkst, das wird in der Regel nicht funktionieren. Daher suchst du eine Lösung für die 3 Unbekannten, die alle 4 Gleichungen möglichst gut erfüllen. Dazu sollst du laut Aufgabenstellung die Normalengleichung verwenden. Diese bekommst du, indem du beide Seiten des Gleichungssystems mit der transponierten Koeffizientenmatrix multiplizierst:
⎝⎛1−11100111124⎠⎞⋅⎝⎜⎜⎜⎛1111−10121014⎠⎟⎟⎟⎞⋅⎝⎛a0a1a2⎠⎞=⎝⎛1−11100111124⎠⎞⋅⎝⎜⎜⎜⎛3124⎠⎟⎟⎟⎞Beide Seiten kannst du durch Matrixmultiplikation vereinfachen:
⎝⎛4262686818⎠⎞⋅⎝⎛a0a1a2⎠⎞=⎝⎛10721⎠⎞Jetzt hast du ein quadratisches Gleichungssystem, dass du mittels elementaren Zeilenumformungen (Gauß-Algorithmus) lösen kannst.
⎝⎛426268681810721⎠⎞Erstes Ziel ist es, unterhalb der Hauptdiagonalen nur 0en stehen zu haben. Dazu subtrahierst du das 3-fache der Zeile 2 von Zeile 3:
⎝⎛426−6268−186818−2410721−21⎠⎞=⎝⎛42026−1068−61070⎠⎞Dann subtrahierst du die Hälfte der Zeile 1 von Zeile 2:
⎝⎛42−2026−1−1068−3−6107−50⎠⎞=⎝⎛40025−1065−61020⎠⎞
⎝⎛40025−1065−61020⎠⎞Jetzt addierst du das Doppelte von Zeile 2 zu Zeile 3:
⎝⎛400+025−10+1065−6+101020+4⎠⎞=⎝⎛4002506541024⎠⎞Jetzt dividierst du Zeile 1 durch 4, Zeile 2 durch 5 und Zeile 3 durch 4, damit auf der Hauptdiagonalen nur noch 1en stehen [Das vereinfacht die folgenden Rechnungen etwas]:
⎝⎛4 : 40 : 50 : 42 : 45 : 50 : 46 : 45 : 54 : 410 : 42 : 54 : 4⎠⎞=⎝⎛1000,5101,5112,50,41⎠⎞Unser nächstes Ziel ist es, auch oberhalb der Hauptdiagonalen nur 0en stehen zu haben. Dazu subtrahiere Zeile 3 von Zeile 2:
⎝⎛1000,5101,51−112,50,4−11⎠⎞=⎝⎛1000,5101,5012,5−0,61⎠⎞Nun subtrahiere die Hälfte der Zeile 2 von Zeile 1:
⎝⎛1−0000,5−0,5101,5−0012,5−(−0,3)−0,61⎠⎞=⎝⎛1000101,5012,8−0,61⎠⎞Im letzten Schritt wird das 1,5-fache der Zeile 3 von Zeile 1 subtrahiert:
⎝⎛1−0000−0101,5−1,5012,8−1,5−0,61⎠⎞=⎝⎛1000100011,3−0,61⎠⎞Daraus kannst du nun die gesuchten Koeffizienten ablesen:
a0=1,3;a1=−0,6;a2=1⇒p(x)=1,3−0,6x+x2