0 Daumen
65 Aufrufe

Aufgabe:

$$\int_{0}^{1}\sqrt{\sqrt{x}+1}$$


Problem/Ansatz:

In meiner Musterloesung wird $$\sqrt{\sqrt{x}+1}$$ als Substituierter Teil angenommen. Kann mir jemand erklaeren warum man das bei dieser Aufgabe so macht? Mein Ansatz war $$\sqrt{x}+1$$ zu substituieren, jedoch habe ich mich dann anschliessend bei der partiellen Integration verlaufenund bemerkt das etwas nicht stimmt.


Vielen Dank im Vorraus!

von

2 Antworten

+3 Daumen

Aloha :)

Ich bin auch für deine Lösung, die ist intuitiv und geht sehr schnell:$$I=\int\limits_0^1\sqrt{\sqrt x+1}\,dx$$Mit der Substitution \(u:=\sqrt x+1\) wird \(u(0)=1\) und \(u(1)=2\) und \(\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{2(u-1)}\), d.h.:

$$I=\int\limits_1^2\sqrt u\,2(u-1)\,du=2\int\limits_1^2\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)\,du=2\left[\frac{2u^{5/2}}{5}-\frac{2u^{3/2}}{3}\right]_1^2$$$$\phantom{I}=2\left(\frac{2\sqrt{32}}{5}-\frac{2\sqrt8}{3}-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\right)=2\left(\frac{24\sqrt2}{15}-\frac{20\sqrt2}{15}-\frac{6}{15}+\frac{10}{15}\right)$$$$\phantom{I}=\frac{2}{15}\left(4\sqrt2+4\right)=\frac{8}{15}\left(\sqrt2+1\right)$$

von 3,8 k
+2 Daumen

Hallo

ich hätte auch deinen Weg gewählt, aber warum danach noch eine partielle Integration vorkommt verstehe ich nicht.

u=√x+1 , du=1/(2√x)dx , dx=2(u-1)du

 also hast du dann 2(u-1)*√u zu integrieren, also 2*u3/2-2*u1/2

das geht direkt.

es gibt oft mehrere Möglichkeiten der Substitution, wenn eine nicht klappt nimmt man ne andere.

Gruß lul

von 26 k

Danke dir fuer deinen Hinweis! Habe das ganze jetzt mit meinem Ansatz durchgerechnet und ich komme auf das gleiche Ergebnis!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...