+1 Daumen
437 Aufrufe

Aufgabe:

$$\int_{0}^{1}\sqrt{\sqrt{x}+1}dx$$


Problem/Ansatz:

In meiner Musterloesung wird $$\sqrt{\sqrt{x}+1}$$ als substituierter Teil angenommen. Kann mir jemand erklären warum man das bei dieser Aufgabe so macht? Mein Ansatz war $$\sqrt{x}+1$$ zu substituieren, jedoch habe ich mich dann anschliessend bei der partiellen Integration verlaufen und bemerkt, dass etwas nicht stimmt.


Vielen Dank im Voraus!

Avatar von

2 Antworten

+2 Daumen

Hallo

ich hätte auch deinen Weg gewählt, aber warum danach noch eine partielle Integration vorkommt verstehe ich nicht.

u=√x+1 , du=1/(2√x)dx , dx=2(u-1)du

 also hast du dann 2(u-1)*√u zu integrieren, also 2*u3/2-2*u1/2

das geht direkt.

es gibt oft mehrere Möglichkeiten der Substitution, wenn eine nicht klappt nimmt man ne andere.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Danke dir fuer deinen Hinweis! Habe das ganze jetzt mit meinem Ansatz durchgerechnet und ich komme auf das gleiche Ergebnis!

+2 Daumen

Aloha :)

Ich bin auch für deine Lösung, die ist intuitiv und geht sehr schnell:$$I=\int\limits_0^1\sqrt{\sqrt x+1}\,dx$$Mit der Substitution \(u:=\sqrt x+1\) wird \(u(0)=1\) und \(u(1)=2\) und \(\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{2(u-1)}\), d.h.:

$$I=\int\limits_1^2\sqrt u\,2(u-1)\,du=2\int\limits_1^2\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)\,du=2\left[\frac{2u^{5/2}}{5}-\frac{2u^{3/2}}{3}\right]_1^2$$$$\phantom{I}=2\left(\frac{2\sqrt{32}}{5}-\frac{2\sqrt8}{3}-\frac{2}{5}+\frac{2}{3}\right)=2\left(\frac{24\sqrt2}{15}-\frac{20\sqrt2}{15}-\frac{6}{15}+\frac{10}{15}\right)$$$$\phantom{I}=\frac{2}{15}\left(4\sqrt2+4\right)=\frac{8}{15}\left(\sqrt2+1\right)$$

Avatar von 148 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community