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Hallo liebe Mathegenies!

Eine Freundin wird bald 24 und ich möchte ihr gerne eine Karte basteln, auf der vorne drauf eine möglichst komplizierte Matheformel steht, deren Ergebnis 24 lautet. Sie wird sich sicherlich freuen, weil sie Mathe sehr mag... ;)

Könnt ihr mir da behilflich sein? Lieben Dank!

von

4 Antworten

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Aloha :)

Das Ausrufezeichen am Ende ist wichtig, kannst du ruhig schön groß malen :)))

$$\left.\left\{\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}\right)^{\exp(i\pi)}\left[\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx\right]^2\right\}!\right.$$

Zur Auflösung:

$$\phantom{=}\left.\left\{\left(\underbrace{\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}}_{=\pi/4}\right)^{\underbrace{\exp(i\pi)}_{=-1}}\left[\underbrace{\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx}_{=\sqrt\pi}\right]^2\right\}!\right.$$$$=\left.\left\{\left(\frac{\pi}{4}\right)^{-1}\left[\sqrt\pi\right]^2\right\}!\right.$$$$=\left.\left\{\frac{4}{\pi}\cdot\pi\right\}!\right.$$$$=4!=24$$

von 18 k
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$$\Large \frac{-2^{\frac{7}{2}}}{\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\cdot\int_{m}^{-\infty}e^{\frac{m^2}{-6}+\frac{mx}{3}-\frac{x^2}{6}}\text{d}x $$

Erklärung: Man formt um bis der Integrand die Dichtefunktion der Normalverteilung mit Erwartungswert m und Standardabweichung √3 ist. Dann hat das Integral den Wert -½ und vor dem Integral steht -48.

von 45 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
vor dem Integral steht -48.

Stimmt das exakt? Heisst das dann nicht, dass π mit Hilfe von Wurzeln, + , -, * , : dargestellt werden kann?

EDIT: Du schreibst: Erst Integral ausrechnen. Ziehst du da auch Faktoren vor das Integral?

Heisst das dann nicht, dass π mit Hilfe von Wurzeln, + , -, * , : dargestellt werden kann?

Nein. Wenn man π ins Integral steckt (und da gehört eins hin), dann muss man das auch irgendwie kompensieren. Diese Kompensation kann man vor das Integral ziehen und hebt das π vor dem Integral dann auf.

Du schreibst: Erst Integral ausrechnen.

Das habe ich nicht geschrieben.

Ziehst du da auch Faktoren vor das Integral?

Ganz im Gegenteil. Ich ziehe Faktoren in das Integral hinein.

Hier die Datails. Insbesondere möchte ich auf die Umformung von der fünften zur sechsten Zeile hinweisen.

$$\begin{align*} \frac{-2^{\frac{7}{2}}}{\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\cdot\int_{m}^{-\infty}e^{\frac{m^{2}}{-6}+\frac{mx}{3}-\frac{x^{2}}{6}}\text{d}x & =\frac{-2^{\frac{7}{2}}}{\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\cdot\int_{m}^{-\infty}e^{-\frac{1}{6}\left(\frac{-6m^{2}}{-6}+\frac{-6mx}{3}-\frac{-6x^{2}}{6}\right)}\text{d}x\\ & =\frac{-2^{\frac{7}{2}}}{\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\cdot\int_{m}^{-\infty}e^{-\frac{1}{6}\left(m^{2}-2mx+x^{2}\right)}\text{d}x\\ & =\frac{-2^{\frac{7}{2}}}{\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\cdot\int_{m}^{-\infty}e^{-\frac{1}{6}\left(x-m\right)^{2}}\text{d}x\\ & =\frac{-2^{\frac{7}{2}}}{\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\cdot\int_{m}^{-\infty}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{6}}\text{d}x\\ & =\frac{-2^{\frac{7}{2}}}{\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\cdot\int_{m}^{-\infty}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =\frac{-2^{\frac{7}{2}}}{\sqrt{\frac{\pi}{3}}}\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-2^{\frac{7}{2}}\cdot\left(\frac{\pi}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-2^{\frac{7}{2}}\cdot\frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{3^{-\frac{1}{2}}}\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-2^{\frac{7}{2}}\cdot\pi^{-\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-2^{\frac{7}{2}}\cdot\pi^{-\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}\cdot\left(2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-2^{\frac{7}{2}}\cdot\pi^{-\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}\cdot\pi^{\frac{1}{2}}\cdot\left(\sqrt{3}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-2^{\frac{7}{2}}\cdot\pi^{-\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}\cdot\pi^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-2^{\frac{7}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2}}\cdot\pi^{-\frac{1}{2}}\cdot\pi^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}}\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-2^{\frac{7}{2}+\frac{1}{2}}\cdot\pi^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-2^{4}\cdot\pi^{0}\cdot3^{1}\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-16\cdot1\cdot3\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-48\int_{m}^{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sqrt{3}^{2}}}e^{-\frac{\left(x-m\right)^{2}}{2\cdot\sqrt{3}^{2}}}\text{d}x\\ & =-48\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\\ & =24 \end{align*}$$

Super. Danke!

+3 Daumen

Hier noch etwas Anderes :)

$$ \sqrt{\Bigg(\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx\Bigg)^{-1}\cdot \det\Bigg(\begin{pmatrix}e & \pi \\ 1 & \frac{\pi+3e}{3\pi} \end{pmatrix}^2\Bigg)+\frac{9-2\pi}{9}+\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{574}{575}\Big)^k} \\= \sqrt{\Bigg(\frac{\pi}{2}\Bigg)^{-1}\cdot \det\Bigg(\begin{pmatrix}e & \pi \\ 1 & \frac{\pi+3e}{3\pi} \end{pmatrix}^2\Bigg)+\frac{9-2\pi}{9}+\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{574}{575}\Big)^k} \\= \sqrt{\frac{2}{\pi}\cdot \det\Bigg(\begin{pmatrix}e & \pi \\ 1 & \frac{\pi+3e}{3\pi} \end{pmatrix}\Bigg)^2+\frac{9-2\pi}{9}+\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{574}{575}\Big)^k} \\= \sqrt{\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\pi^2}{9}+\frac{9-2\pi}{9}+\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{574}{575}\Big)^k} \\= \sqrt{\frac{2\pi}{9}+\frac{9-2\pi}{9}+\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{574}{575}\Big)^k} \\= \sqrt{1+\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{574}{575}\Big)^k} \\= \sqrt{1+575}=\sqrt{576}=24$$

von 7,5 k
+1 Daumen

Falls du die Freundin noch braucht und die Karte was her machen soll ist "möglicht komlipiziert" vielleicht die falsche Strategie und dann kommt auch etwas nicht ganz so kompliziertes, aber nachvollziehbareres, in die engere Wahl. Wie wäre es mit diesem Motiv? $$2^{10}-10^3$$

von 18 k

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