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Aufgabe:

Geben ist das folgende, vom Parameter t e ℝ abhängende, lineare Gleichungssystem:

x + y - z = 1,

2x + 3y + tz = 3

x + ty + 3z = 2

Für welche Werte von t besitzt das LGS eine eindeutige, unendliche viele bzw. keine Lösung?

Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen, soweit sie existieren.

Problem/Ansatz:

Komme leider an dieser Aufgabe nicht mehr weiter. Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte (mit Rechenweg wäre klasse! :)). Vielen Dank im Voraus!


Euer Max

von

Tipp: \(\det\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&3&t\\1&t&3\end{pmatrix}=(3+t)\cdot(2-t)\).

Danke, Kannst du das näher erläutern?

Wenn die Determinante ungleich Null ist, hat das LGS eine eindeutige Lõsung. Betrachte die Fälle t=-3, bzw. t=2 separat.

Ich danke dir, kannst du mir noch sagen wie du die Determinante berechnet hast? Komme da auf blödsinn, wenn ich diese berechne.

Z.B. mit der Regel von Sarrus.

komme nicht auf (3+t)⋅(2−t).

Mein Ergebnis: 9 + t + -2t + -3 - t² - 6.

Was mache ich falsch?

Vermutlich ein Vorzeichenfehler bei -3. Sollte  \(-t^2-t+6\) sein.

Könntest du mir bitte den Rechenweg für die Determinante aufzeigen, stehe irgendwie auf dem Schlauch und komme nicht auf dein Ergebnis.

Ohne Sarrus:$$\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&3&t\\1&t&3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-1\\0&1&t+2\\0&t-1&4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&t+2\\t-1&4\end{vmatrix}.$$

Danke! Kannst mir dazu eine kurze Erklärung geben, wieso die erste Spalte gestrichen wurde?

Das ist der Entwicklungssatz nach Laplace.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Wenn du das gegebene Gleichungssystem mit Hilfe einer Matrix schreibst:$$\left(\begin{array}{c}1 & 1 & -1\\2 & 3 & t\\1 & t & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)$$gibt es eine eindeutige Lösung genau dann, wenn die Matrix invertierbar ist. Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist. Um die kritischen Werte für \(t\) zu finden, benötigen wir also die Determinante der Matrix. Diese entwickeln wir nach der ersten Zeile:

$$\left|\begin{array}{c}1 & 1 & -1\\2 & 3 & t\\1 & t & 3\end{array}\right|=1\cdot\left|\begin{array}{c}3 & t\\t & 3\end{array}\right|-1\cdot\left|\begin{array}{c}2 & t\\1 & 3\end{array}\right|+(-1)\cdot\left|\begin{array}{c}2 & 3\\1 & t\end{array}\right|$$$$\quad=\left(3^2-t^2\right)-\left(2\cdot3-1\cdot t\right)-\left(2\cdot t-1\cdot3\right)=9-t^2-6+t-2t+3$$$$\quad=-t^2-t+6=-(t^2+t-6)=-(t+3)(t-2)$$Bei \(t=2\) und bei \(t=-3\) ist die Determinante \(=0\), also sind das die gesuchten Kandidaten, für die es keine eindeutige Lösung gibt. Wir betrachten die beiden Kandidaten nun genauer mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

$$\underline{t=2:}\quad\left[\begin{array}{c}1 & 1 & -1&\;1\\2 & 3 & 2&\;3\\1 & 2 & 3&\;2\end{array}\right]\stackrel{\to}{z_3=z_3+z_1}\left[\begin{array}{c}1 & 1 & -1&\;1\\2 & 3 & 2&\;3\\2 & 3 & 2&\;3\end{array}\right]$$Hier gibt es 2 äquivalente Gleichungen, also haben wir für 3 Unbekannte nur 2 Gleichungen. Daher gibt es einen Freiheitsgrad (= eine unbestimmte Variable) und unendlich viele Lösungen.

$$\underline{t=-3:}\quad\left[\begin{array}{c}1 & 1 & -1&\;1\\2 & 3 & -3&\;3\\1 & -3 & 3&\;2\end{array}\right]\stackrel{\to}{z_2=z_2+z_3}\left[\begin{array}{c}1 & 1 & -1&\;1\\3 & 0 & 0&\;5\\1 & -3 & 3&\;2\end{array}\right]$$$$\phantom{\underline{t=-3:}}\stackrel{\to}{z_3=z_3+3z_1}\left[\begin{array}{c}1 & 1 & -1&\;1\\3 & 0 & 0&\;5\\4 & 0 & 0&\;5\end{array}\right]$$

Hier gibt es 2 sich widersprechende Gleichungen, \(3x=5\,\land\,4x=5\), daher ist das System unlösbar.

von 4,2 k

Super!! Vielen Dank für deine Hilfe. Habe mich sehr gefreut, wünsche dir noch einen schönen Tag. :)

Ich finde Tschakas Antworten auch immer klasse, logge mich ein und lese als erstes seine Posts. Wenn er/sie erklärt, verstehe ich Mathematik :)

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Lösungen: x=1 y=\( \frac{1}{t+3} \) z=\( \frac{1}{t+3} \)

Insbesondere gibt es für t=-3 keine Lösung.

von 61 k

Danke Roland für deine Antwort! Hättest du mir noch deinen Rechenweg? Das wäre nett, danke im Voraus.

Was wenn t=2 ist?

Mein Rechenweg:

1) x + y - z = 1,

2) 2x + 3y + tz = 3

3) x + ty + 3z = 2

1)+3)-2) führt direkt auf y=z (dann ist x=1) oder auf t=2 (dann ist x=0).

Z.B. ist auch (x,y,z)=(0,1,0) eine Lösung, wenn t=2 ist.

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