Stochastik - Zufallsvariable

Question

Aufgabe:

Zwei Spieler A und B spielen folgendes Spiel:

Geworfen werden drei ideale Würfel. A zahlt an B 1€, wenn einmal die 6; 2€ wenn zweimal die 6; 3€ wenn dreimal die 6 fällt. Fällt keine 6, so zahlt B an A 1€.

a) Wie groß is der Erwartungwer des Gewinns für den Spieler A (für den Spieler B)?

b) Wie muss die Auszahlung bei "Keine 6" geändert werden, damit das Spiel fair ist?

Problem/Ansatz:

Ich blick bei den Thema einfach nicht durch. Wäre super, wenn mir jemand den richtigen Lösungsweg erklären könnte. :)

Answer 1

Gewinn für A:   bei     wenn (genau!) einmal die 6  :    -1€

Wahrscheinlichkeit dafür                       p=3*1/6*5/6*5/6= 25/72

                                  wenn (genau!) zweimal die 6            :     -2€

    Wahrscheinlichkeit dafür        p=3*1/6*1/6*5/6=5/72

           wenn (genau!) zweimal die 6            :     -3€

Wahrscheinlichkeit dafür                      p=1/216

                                      sonst                                     +1€

Wahrscheinlichkeit dafür              p=1-(25/72      +5/72    +1/216) =125/216.

Erwartungswert  E= -1*25/72 + (-2)*5/72 + (-3)*1/216 + 1*125/216

                                          = 17/216 ≈  0,07  also  0,07€

fair wäre es , wenn E=0 also   -1*25/72 + (-2)*5/72 + (-3)*1/216 + x*125/216 = 0

                                                                        -1/2  + x*125/216 = 0

              gibt x = 108/125 = 0,864 also dann Auszahlung  86,4 Cent.

Answer 2

X = Anzahl der Sechsen

a) P(X=1)*1+P(X=2)*2+P(X=3)*3-P(X=0)*1

Binomialverteilung verwenden

b) P(X=1)*1+P(X=2)*2+P(X=3)*3-P(X=0)*x= 0

x = gesuchte Auszahlung

Answer 3

a) Es werden 3 Würfel geworfen.

X - Gewinn von A in Euro

$$X=\left\{-3,-2,-1,1\right\}$$

(Dabei -3€ für 3 Sechsen, -2€ für 2 Sechsen, -1€ für 1 Sechs, 1€ für keine Sechs)

$$P(X=-1)=[P(1,1,6)+...+P(5,5,6)]+[P(1,6,1)+...+P(5,6,5)]+[P(6,1,1)+...+P(6,5,5)]=3*\frac{5*5}{216}=\frac{75}{216}$$

$$P(X=-2)=[P(1,6,6)+...+P(5,6,6)]+[P(6,1,6)+...+P(6,5,6)]+[P(6,6,1)+...+P(6,6,5)]=3*\frac{5}{216}=\frac{15}{216}$$

$$P(X=-3)=P(6,6,6)=\frac{1}{216}$$

$$P(X=1)=1-P(X=-1)-P(X=-2)-P(X=-3)=1-\frac{91}{216}=\frac{125}{216}=(\frac{5}{6})^3$$

Erwartungswert:

$$E(X)=\sum \limits_{i=-3}^{-1}x_i*P(X=x_i)+1*P(X=1)=-3*\frac{1}{216}-2*\frac{15}{216}-1*\frac{75}{216}+1*\frac{125}{216}=\frac{17}{216}$$

Für Spieler B dann logischerweise mit negativem Vorzeichen.

b) Wahrscheinlichkeiten für die Würfe der Sechsen bleiben die gleichen. Was sich jetzt ändert ist x₄=1 (Zahlung von 1€ von B an A für keine Sechs) zu einem anderen Wert n, sodass E(X)=0.

Somit:

$$E(X)=\sum \limits_{i=-3}^{-1}x_i*P(X=x_i)+n*P(X=n)$$

$$E(X)=-\frac{108}{216}+n*P(X=n)=-\frac{1}{2}+n*\frac{125}{216}=0$$

$$n*\frac{125}{216}=\frac{1}{2}$$

$$n=0,864$$

Das bedeutet, B sollte Spieler A ca. 86 Cent zahlen bei keiner Sechs, damit das Spiel für beide fair ist.