Normalteiler - Gruppen

Question

Hallöchen,

ich soll zeigen das N ein Normalteiler von G ist.   $$N\vartriangleleft G$$

$$G=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$$ wobei a,b,d ∈ K, ad≠0

$$N=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^-1 \end{pmatrix}$$ a,b ∈ K, a≠0

Mein Ansatz:

Sei $$p=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^-1 \end{pmatrix}∈P$$   und sei $$g= \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} ∈ G$$

Man muss zeigen das $$g^-1Pg⊆P$$

Wenn ich alles am ende ausrechne erhalte ich : $$1/ad\begin{pmatrix} aad & abd+bdd+aa^-1d\\ 0 & a^-1ad \end{pmatrix}$$

 $$--> \begin{pmatrix} a & (bdd+a^-1)/ad \\ 0 & a^-1 \end{pmatrix} ∈ P$$

Stimmt das so ? Ich bedanke mich im voraus für die Hilfe!

LG

Answer 1

Als letztes Argument könnte man noch nennen:

Die letzte Matrix ist wieder in P, da

sie links oben und rechts unten je a bzw. a^(-1) hat

und das rechte obere Element beliebig ist.

Comments

Alles klar, dann werde ich das ab jetzt so machen. Vielen Dank! :))