Aloha :)
Die Kollegen haben ja schon viele gute Hinweise gegeben. Ich möchte dir aber noch eine ganz andere Herangehensweise vorschlagen. Du hast geschrieben, dass die Klasse gerade das Thema Determinanten abgeschlossen hat. Daher würde ich daran wie folgt anknüpfen.
Motivation: Wir suchen einen Vektor \(\vec a\), der auf den beiden Vektoren \(\vec b\) und \(\vec c\) senkrecht steht.
Dazu betrachten wir die folgende Determinante und entwickeln sie nach der ersten Spalte:
$$D=\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=a_1\left|\begin{array}{c}b_2 & c_2\\b_3 & c_3\end{array}\right|-a_2\left|\begin{array}{c}b_1 & c_1\\b_3 & c_3\end{array}\right|+a_3\left|\begin{array}{c}b_1 & c_1\\b_2 & c_2\end{array}\right|$$Das kann man als Skalarprodukt schreiben:
$$D=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{c}b_2 & c_2\\b_3 & c_3\end{array}\right|\\-\left|\begin{array}{c}b_1 & c_1\\b_3 & c_3\end{array}\right|\\\left|\begin{array}{c}b_1 & c_1\\b_2 & c_2\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{c}b_2c_3-b_3c_2\\b_3c_1-b_1c_3\\b_1c_2-b_2c_1\end{array}\right)}_{=:\,\vec b\times\vec c}$$Wenn man den Vektor mit den 2x2-Determinanten ausrechnet, erhält man das Vektorprodukt \(\vec b\times\vec c\). Damit hast du Folgendes gezeigt:
$$\left|\begin{array}{c}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=\vec a\cdot\left(\vec b\times\vec c\right)=\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}b_2c_3-b_3c_2\\b_3c_1-b_1c_3\\b_1c_2-b_2c_1\end{array}\right)$$Daraus kannst du nun so ziemlich alle Eigenschaften des Vektorproduktes folgern:
a) Die Determinante ist \(0\), wenn sie zwei gleiche Spalten enthält. Wenn wir also für \(\vec a\) einen der Vektoren \(\vec b\) oder \(\vec c\) einsetzen, ist die Determinante \(0\). Damit ist aber:$$\quad\vec b\cdot(\vec b\times\vec c)=0\quad;\quad\vec b\cdot(\vec b\times\vec c)=0\quad\Rightarrow\quad \vec a\,,\,\vec b\;\perp\;\vec b\times\vec c$$
b) Wenn man die b- und c-Spalte der Determinante vertauscht, ändert diese ihr Vorzeichen:$$\quad\vec b\times\vec c=-(\vec c\times\vec b)$$
c) Die Determinante ist gleich dem Volumen, das durch die 3 Spaltenvektoren aufgespannt wird.
\(\quad\vec a\cdot\left(\vec b\times\vec c\right)=\) Volumen des Spats, der durch \(\vec a,\vec b,\vec c\) aufgespannt wird.
d) Das Spatprodukt ist zyklisch vertauschbar, weil die Spalten der Determinante zyklisch vertauschbar sind (jede zyklische Verschiebung entspricht 2 Spalten-Vertauschungen).$$\quad\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=\vec b\cdot(\vec c\times\vec a)=\vec c\cdot(\vec a\times\vec b)$$
e) Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte addiert wird. Zerlegen wir also den Vektor \(\vec a\) in einen Anteil \(\vec a_\parallel\) parallel zu \(\vec b\times\vec c\) und einen Anteil \(\vec a_\perp\) senkrecht zu \(\vec b\times\vec c\), so kann man \(\vec a_\perp\) als Linearkombination von \(\vec b\) und \(\vec c\) ausdrücken, sodass \(\vec a_\perp\cdot(\vec b\times\vec c)=0\) gilt.$$\quad\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=\vec a_\parallel\cdot(\vec b\times\vec c)$$
f) Weil \(\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=\vec a_\parallel\cdot(\vec b\times\vec c)\) das Volumen des von \(\vec a,\vec b,\vec c\) aufgespannten Spates ist und \(\vec a_\parallel\) senkrecht auf der durch \(\vec b\) und \(\vec c\) aufgepsannten Ebene steht, muss der Betrag \(\left|\vec b\times\vec c\right|\) gleich der Fläche des von \(\vec b\) und \(\vec c\) aufgespannten Rechtecks sein.
Ich weiß nicht, ob dieses Vorgehen pädagogisch gut ist, bin kein Pädagoge. Ich wollte nur eine andere Herangehensweise aufzeigen als die üblichen, bei denen das Vektorprodukt quasi vom Himmel fällt.
