Kann man so kürzen für die Ableitung?

Question

e^(2x) - 1 / e^(x) + 1

= e^x *e^x -1 / e^(x) + 1

dann kürzt man 1x die e^x weg von oben und unten bleibt also:

e^x -1 / 1 = e^x - 1 und dann normal ableiten ohne quotientenregel?

Comments

Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

Faktorisiere den Zähler!

Answer 1

e^(2x) - 1 / e^(x) + 1

= (e^x *e^x -1) / (e^(x) + 1)

Im Zähler liefert die 3. binomi. Formel

= (e^x  -1)*(e^x + 1 )  / (e^(x) + 1)

Den 2. Faktor kürzen gibt

e^x  -1

Answer 2

Aloha :)

Wegen \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) gilt:

$$\left(\frac{e^{2x}-1}{e^x+1}\right)'=\left(\frac{\left(e^x\right)^2-1^2}{e^x+1}\right)'=\left(\frac{(e^x+1)(e^x-1)}{e^x+1}\right)'=\left(e^x-1\right)'=e^x$$

Comments

Danke, die 3. binomische Formel habe ich nicht in Betracht gezogen. Zurück aber zu meiner Frage: Ist mein Lösungsweg falsch? Ich würde auf das gleiche Ergebnis stoßen. LG

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Du darfst das \(e^x\) nicht aus einer Summe heraus kürzen. Daher ist dein Rechenweg falsch, obwohl das Ergebnis stimmt (was Zufall ist). Vielleicht merkt dein Betreuer ja nicht, dass der Rechenweg falsch ist und schaut nur auf das Ergebnis... ;)

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Das heißt:

\( \frac{e^x}{e^x +1} \)

e^x darf ich hier nicht mit e^x kürzen? Auch, wenn es e^x - 1 wäre oder e^x * 1 z.B.?

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Damit der Wert des Bruches beim Kürzen ungeändert bleibt, muss du Zähler und Nenner durch denselben Wert dividieren.

Wenn du den Zähler durch \(e^x\) dividierst, gibt das: \(\frac{e^x}{e^x}=1\).

Wenn du den Nenner durch \(e^x\) divdierst, gibt das: \(\frac{e^x+1}{e^x}=1+\frac{1}{e^x}\)

Das heißt: \(\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}\)

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Versteh ich nicht. Darf ich das so kürzen oder nicht? Im Grunde genommen, habe ich es verstanden also laut deiner Rechnung würde ein anderer Wert rauskommen aber könntest du bisschen konkreter auf meine Frage eingehen :O

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Wie kann man sonst \( \frac{e^x}{e^x+1} \) geschickt und einfach ableiten?

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Im Grunde genommen, habe ich es verstanden

Nein, das hast du nicht.

Für dich bedeutet kürzen immer noch, aus Zähler und Nenner wahllos gleich aussehende Teile wegzustreichen. DAS IST NICHT SO.

Kürzen heißt, den (gesamten) Zähler und den (gesamten) Nenner durch die selbe Zahl zu teilen, Wenn du unbedingt mit e^x kürzen willst, kannst du das tun. Dann kommt aber die Gleichung von Tschaka raus und nicht deine.

Answer 3

Lange vor Ableitungen werden in der Schule z.B. Brüche behandelt. Und Klammern, die notwendig werden, wenn keine horizontalen Bruchstriche zur Verfügung stehen !!