LGS mit Gauß-Verfahren => Gleichung aufstellen

Question

mir fehlt beim folgenden Beispiel leider der Ansatz wie ich mein Gleichungssystem aufstelle. Das Lösen selbst mit dem Gauß-Verfahren stellt kein Problem dar:

In einem Industriebetrieb soll eine Mischung aus Wasser, Bindemittel und Zuschlagstoffen zu Kleber verarbeitet werden. Folgende Forderungen an die Mischung sind zu berücksichtigen:

Insgesamt sollen 100 kg des Klebers hergestellt werden;
Pro kg verwendeten Bindemittels sind 4 kg Wasser vorgeschrieben;
Es sollen um 55 kg mehr Zuschlagstoffe als Wasser aufgewendet werden;
Formulieren Sie die gestellten Forderungen als lineares Gleichungssystem und bestimmen sie die korrekte Rezeptur für den Kleber (Anteile der Zutaten in kg) mittels Gau-Verfahren.

Wie komme ich hier auf meine 3 Gleichungen?

Danke

Answer 1

Hallo seeker,

Es sind die Mengen von drei Stoffen \(w\) Wasser, \(b\) Bindemittel und \(z\) Zuschlagstoffe zu berechnen,

Insgesamt sollen 100 kg des Klebers hergestellt werden

$$w + b + z = 100$$

Pro kg verwendeten Bindemittels sind 4 kg Wasser vorgeschrieben

$$4b = w \implies -w + 4b = 0$$

Es sollen um 55 kg mehr Zuschlagstoffe als Wasser aufgewendet werden

$$z  = w + 55\implies -w + z = 55$$

macht zusammen: $$\begin{pmatrix} 1& 1& 1\\ -1& 4& 0\\ -1& 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w\\ b\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}100 \\ 0 \\ 55 \end{pmatrix}$$Lösung: \(w=20\), \(b=5\) und \(z=75\).

Gruß Werner

Comments

Es geht auch ganz ohne LGS und Gauß:

Wenn man die 55kg mehr an Zuschlagstoffe von den 100kg abzieht, hat man die gleiche Menge Wasser und Zuschlagstoffe. Vom Wasser soll \(4\)mal so viel in der Mischung sein, wie vom Bindemittel. Damit ergibt sich ein Verhältnis von Bindemittel zu Wasser zu Zuschlagstoffe-55 von \(1 \div 4 \div 4\). Das sind in Summe \(9\) Teile auf die verbleibenden \(100\text{kg} - 55\text{kg} = 45\text{kg}\). Somit haben wir \(45\text{kg} \div 9 = 5 \text{kg}\) Bindemittel , das 4-fache - also \(5 \text{kg} \cdot4 = 20 \text{kg}\) Wasser und um 55kg mehr Zuschlagstoffe sind \(20 \text{kg} + 55\text{kg} = 75\text{kg}\) Zuschlagstoffe.

Answer 2

Die Bestandteile w,b,z

===>

100 kg des Klebers: w+b+z =100

Pro kg verwendeten Bindemittels 4 kg Wasser:

55 kg mehr Zuschlagstoffe als Wasser:

gibt eine Matrix zum Gaussen

\(\left(\begin{array}{rrrr}1&-4&0&0\\1&0&-1&-55\\1&1&1&100\\\end{array}\right)\)

Answer 3

W + B + Z = 100
W = 4 * B
W + 55 = Z

Ohne Gauß
W + B + W + 55 = 100
2 * W + B = 45
2 * ( 4 * B ) + B = 45
9 * B = 45
B = 5

2 * W + B = 45
2 * W + 5 = 45
W = 20

Z = W + 55
Z = 75

5 + 20 + 75 = 100

Reichlich umständlich
W + B + Z = 100
W - 4 * B + 0 * Z = 0
W + 0 * B - 1 * Z = - 55