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Aufgabe:

Thema Zahlentheorie "Sicherheit durch Prüfziffern". (PZN Prüfziffer)


Hier einmal zwei Fragen, wofür ich Hilfe benötige:

1. Finden Sie ein Beispiel für eine Eingabe von zwei falschen Ziffern, die durch das Prüfziffernverfahren nicht aufgedeckt wird. Zeigen Sie, dass dieser Fehler nicht erkannt wird.

2. Zeigen Sie, dass die Vertauschung zweier benachbarter Ziffern immer aufgedeckt wird.

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Laut PZN besteht die Prüfziffer der Zahl

        z : =i=07zi10iz := \sum_{i=0}^7z_i \cdot 10^i

mit zi{0,,9}i{0,,7}z_i ∈ \{0,\dots, 9\}\, \forall i\in \{0,\dots, 7\} aus der Einerstelle der Zahl

        p(z) : =(i=07zi(9i))mod  11p(z) := \left(\sum_{i=0}^7z_i\cdot (9-i)\right) \mod 11.

Dabei ist die Zehnerstelle 0, weil nach den PZN-Richtlinien Zahlen zz mit p(z)=10p(z)=10 nicht als PZN vergeben werden.

Insbesondere ist p(11111111)=p(31011111)=6p(11111111) = p(31011111) = 6.

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Ich unterstelle, Du meinst mit PZN die Pharmazentralnummer. Hier habe ich gefunden, dass die Prüfziffer pzp_z, also die letzte Stelle der 8-stelligen PZN, wie folgt berechnet wird:pzi=17izimod  11p_z \equiv \sum_{i=1}^{7} i \cdot z_i \mod 11Die ersten sieben Ziffern ziz_i werden von links nach rechts mit 11 bis 77 multipliziert und vom Ergebnis wird nur der Rest bei der Division durch 1111 betrachtet. Ist der Rest =10=10, so wird diese PZN nicht vergeben.

Finden Sie ein Beispiel für eine Eingabe von zwei falschen Ziffern, die durch das Prüfziffernverfahren nicht aufgedeckt wird. Zeigen Sie, dass dieser Fehler nicht erkannt wird.

Nehme die ersten beiden Ziffern z1z_1 und z2z_2. Und setze sie auf (fast) beliebige Werte, z.B. z1=2z_1=2 und z2=2z_2=2. Ihr Anteil p1,2p_{1,2} an der Prüfziffer istz11+z22p1,2mod  1121+226mod  11\begin{aligned}z_1 \cdot 1 + z_2 \cdot 2 &\equiv p_{1,2} &&\mod 11 \\ 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 &\equiv 6 &&\mod 11 \end{aligned}Jetzt gilt es, zwei andere Ziffern z1z_1' und z2z_2' zu finden, die das gleiche p1,2=6p_{1,2}=6 erzeugen:z11+z226mod  1141+126mod  11\begin{aligned}z_1' \cdot 1 + z_2' \cdot 2 &\equiv 6 &&\mod 11 \\ 4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 &\equiv 6 && \mod 11\end{aligned}D.h. mit z1=4z_1'=4 und z2=1z_2'=1 bleibt das p1,2=6p_{1,2}=6 erhalten. Nehme z.B. die PZN 22222221i=17i2=282621mod  112222222 \colorbox{#ffff00}{1} \to \sum_{i=1}^7 i\cdot 2 = 28 \cdot 2 \equiv 6 \cdot 2 \equiv \colorbox{#ffff00}{1} \mod 11

Jetzt ersetze die ersten beiden Ziffern wie oben berechnet

4122222141+12+i=37i2=6+2526+321mod  11 4122222 \colorbox{#ffff00}{1} \to 4\cdot 1 + 1 \cdot 2 + \sum_{i=3}^7 i \cdot 2 = 6 + 25 \cdot 2 \equiv 6 + 3 \cdot 2 \equiv \colorbox{#ffff00}{1} \mod 11

Die Prüfziffer bleibt erhalten.

Zeigen Sie, dass die Vertauschung zweier benachbarter Ziffern immer aufgedeckt wird.

Sei ziz_i die erste der beiden Ziffern, so ist der Anteil pi,i+1p_{i,i+1} an der Prüfzifferpi,i+1zii+zi+1(i+1)mod  11p_{i,i+1} \equiv z_i \cdot i + z_{i+1} \cdot (i+1)\mod 11Mit Vertauschen der Ziffern ergibt sich:pi,i+1zi+1i+zi(i+1)mod  11zi+1(i+1)+zii+zizi+1mod  11pi,i+1+(zizi+1)mod  11\begin{aligned}p_{i,i+1}' &\equiv z_{i+1} \cdot i + z_{i} \cdot (i+1)\mod 11 \\ & \equiv z_{i+1} \cdot (i+1) + z_{i} \cdot i + z_i - z_{i+1}\mod 11 \\ &\equiv p_{i,i+1} + (z_i - z_{i+1}) \mod 11 \end{aligned}Sind die Ziffer verschieden (sonst macht es ja keinen Sinn!), dann ist die Differenz zizi+1>0|z_i - z_{i+1}|\gt 0 und sicher zizi+1<11|z_i - z_{i+1}|\lt 11. Somit ist immer gewährleistet, dass pi,i+1pi,i+1p_{i,i+1} \ne p_{i,i+1}'.

Gruß Werner

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