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ich soll eine Funktion auf Differenzierbarkeit Untersuchen, kenne aber nur die Untersuchung der Differenzierbarkeit an einer gegebenen Stelle.


Nun ist aber keine Stelle gegeben, wie könnte man Beispielsweise

f(x) = \( \sqrt{x+1} \) + \( \sqrt{4-2x} \)

allgemein auf Differenzierbarkeit untersuchen?

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Aloha :)

Du musst zuerst überlegen, in welchem Definitionsbereich die Funktion überhaupt definiert ist. Da die Wurzel von negativen Zahlen in \(\mathbb{R}\) nicht definiert ist, muss \(x\) zwei Bedingungen erfüllen:$$x+1\ge0\;\land\;4-2x\ge0\quad\Leftrightarrow\quad x\ge-1\;\land\;x\le2\quad\Leftrightarrow\quad x\in[-1;2]$$Nur in diesem Definitionsbereich ist die Funktion definiert. Nun musst du untersuchen, für welche \(x\in[-1;2]\) der Differentialquotient konvergiert. Dazu betrachtest du am besten zunächst den Differenzenquotient und formst ihn um:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{4-2(x+h)}-\sqrt{x+1}-\sqrt{4-2x}}{h}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{\sqrt{(x+h)+1}-\sqrt{x+1}+\sqrt{4-2(x+h)}-\sqrt{4-2x}}{h}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{\sqrt{(x+h)+1}-\sqrt{x+1}}{h}+\frac{\sqrt{4-2(x+h)}-\sqrt{4-2x}}{h}$$Jetzt nicht erschrecken. Wir erweitern die beiden Brüche, um danach die Wurzeln in den Zählern mittels der dritten binomischen Formel zu wieder zu vereinfachen:

$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{(\overbrace{\sqrt{(x+h)+1}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{x+1}}^{=b})\cdot(\overbrace{\sqrt{(x+h)+1}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{x+1}}^{=b})}{h\cdot\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}+\frac{(\overbrace{\sqrt{4-2(x+h)}}^{=c}-\overbrace{\sqrt{4-2x}}^{=d})\cdot(\overbrace{\sqrt{4-2(x+h)}}^{=c}+\overbrace{\sqrt{4-2x})}^{=d}}{h\cdot(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{(\overbrace{(x+h)+1}^{=a^2})-(\overbrace{x+1}^{=b^2})}{h\cdot\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}+\frac{(\overbrace{4-2(x+h)}^{=c^2})-(\overbrace{4-2x}^{=d^2})}{h\cdot(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{x+h+1-x-1}{h\cdot\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}+\frac{4-2x-2h-4+2x}{h\cdot(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$$$\phantom{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{h}{h\cdot\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}+\frac{-2h}{h\cdot(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$Jetzt kann man im Zähler und Nenner \(h\) kürzen (deswegen haben wir die ganze Term-Gymnastik veranstaltet) und das Minuszeichen im Zähler vom 2-ten Bruch noch "nach vorne" ziehen. Damit haben wir:$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}-\frac{2}{(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$Die Funktion ist nun differenzierbr, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(h\to0\) existiert. Nach unserem Umbau können wir \(h=0\) sogar einsetzen:

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{1}{\left(\sqrt{(x+h)+1}+\sqrt{x+1}\right)}-\frac{2}{(\sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}\right)$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{2}{2\sqrt{4-2x}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{4-2x}}$$JDen Grenzwert \(h\to0\) konnten wir ohne Probleme bilden, aber jetzt tauchen die beiden Wurzeln im Nenner auf. Oben hatten wir den Definitionsbereich \([-1;2]\) ermittelt. Die Ableitung ist jedoch an den Rändern dieses Bereichs nicht definiert, weil die Wurzeln da zu Null werden.

Daher ist die Funktion differenzierbar für \(x\in]-1;2[\).

Avatar von 148 k 🚀

Vielen Dank, das ist sehr verständlich!

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Erst mal den Definitionsbereich bestimmen:

Beide Radikanden nicht negativ gibt D = [-1;2].

Für Differenzierbarkeit bei x braucht man eine ganze Umgebung von x

die in D leigt. Sei also x ∈ ]-1;2[.

Und betrachte nun (f(x+h) - f(x)) / h  für h gegen 0

$$\frac{\sqrt{x+h+1}-\sqrt{x+1}}{h}  + \frac{\sqrt{4-2(x+h)}-\sqrt{4-2x}}{h}$$

Erweitere den ersten Bruch mit

$$\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}$$ und den zweiten mit

$$ \sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x}$$

und wende jeweils im Zähler die 3. binomi. Formel an.

Das gibt

$$\frac{(x+h+1)-(x+1)}{h*(\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1})}  + \frac{(4-2(x+h))-(4-2x)}{h*( \sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$

$$=\frac{h}{h*(\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1})}  + \frac{-2h}{h*( \sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$

h kürzen

$$=\frac{1}{\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1})}  + \frac{-2}{ \sqrt{4-2(x+h)}+\sqrt{4-2x})}$$

und den Grenzwert für h gegen 0 bilden, das gibt:

$$=\frac{1}{2\sqrt{x+1})}  + \frac{-2}{2\sqrt{4-2x})}$$

Dann noch die 2 im 2. Bruch kürzen.

Avatar von 287 k 🚀

Du hast in den letzten paar Nennern ein paar überflüssige schliessende Klammern.

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Lass dir den Graphen der Funktion plotten

~plot~ sqrt(x+1) +sqrt(4-2x) ~plot~

und überlege dann

1. warum, wo der Graph aufhört.

2. wo die Steigung des Graphen allenfalls keine wohldefinierte endliche Grösse sein könnte.

Avatar von 162 k 🚀

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