Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen

Question

Es heisst ja, dass eine Äquivalenzrelation die Grundmenge in disjunkte Äquivalenzklassen / Partitionen unterteilt. Nehmen wir also z.B.

$$R := \{(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} | a+b~gerade \}$$

Da sind dann Tupel drin wie (1,1), (1,3), (3,1), (4,2), (2,4), (1,5) usw.

Das ist ja jetzt nur eine Teilmenge von N x N. Oder sind es mehrere? Ich verstehe das nicht ganz, weil es ja laut Definition verschiedene sein sollten, die auch noch disjunkt sind. Was könnte ich da als Repräsentant wählen und welche Tupel würden dann zu einem solchen Repräsentanten gehören?

Ein zweites Beispiel ist die Relation, über deren Tupel die ganzen Zahlen definiert werden können

$$R := \{((a,b), (c,d)) \in (\mathbb{N} \times \mathbb{N})^2 | b-a = d-c \}$$

Da sind dann Tupel drin wie ((1,2), (2,3)), ((4,7), (7,10)) usw.

Was wäre da ein Repräsentant?

Würde mich freuen, wenn mir jemand das nochmal genau erklären könnte, was Äquivalenzklassen sind und wie das passiert, dass die Äquivalenzrelation ihre Grundmenge in Partitionen unterteilt.

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es heisst ja, dass eine Äquivalenzrelation die Grundmenge in disjunkte Äquivalenzklassen / Partitionen unterteilt. Nehmen wir also z.B.

$$R := \{(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} | a+b~gerade \}$$

R:={(a,b)∈N×N|a+b gerade}

Da sind dann Tupel drin wie (1,1), (1,3), (3,1), (4,2), (2,4), (1,5) usw.

Es geht hier mE um eine Unterteilung von N in Äquivalenzklassen. Sie ergibt sich aus der Transitivität.

aRb und bRa ---> aRc       

Klasse 1: ...-7,-5,-3-1,1,3,5,7,...

Klasse 2: ...-6,-4,-2,0,2,4,6,…

Ich hoffe mal, dass du das bis hierhin irgendwie mit eurer Definition zusammenbringst.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung von Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen

Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge \(M\) ist eine Relation, die die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität erfüllt. Das bedeutet:

- Reflexivität: Jedes Element steht in Relation zu sich selbst, also \((a, a) \in R\) für alle \(a \in M\).
- Symmetrie: Wenn ein Element \(a\) in Relation zu einem Element \(b\) steht, dann steht auch \(b\) in Relation zu \(a\), d.h., aus \((a, b) \in R\) folgt \((b, a) \in R\).
- Transitivität: Wenn ein Element \(a\) in Relation zu einem Element \(b\) und \(b\) in Relation zu einem Element \(c\) steht, dann steht auch \(a\) in Relation zu \(c\), d.h., aus \((a, b) \in R\) und \((b, c) \in R\) folgt \((a, c) \in R\).

Äquivalenzklassen

Eine Äquivalenzrelation unterteilt die Grundmenge \(M\) in disjunkte Teilmengen, sogenannte Äquivalenzklassen. Jede Äquivalenzklasse wird durch ein Element \(a\) aus \(M\) repräsentiert und enthält alle Elemente, die zu \(a\) in Relation stehen.

Beispiel 1

Für die Relation \(R := \{(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} | a + b~\text{ist gerade}\}\), besteht die Grundidee darin, Tupel zu finden, deren Summe gerade ist.

Die Äquivalenzklassen in diesem Fall werden durch die Eigenschaft "Summe ist gerade" gebildet. Das bedeutet, alle Paare von natürlichen Zahlen, deren Summe gerade ist, gehören zur selben Klasse.

- Repräsentanten und Äquivalenzklassen: Ein Repräsentant könnte das Tupel \((0, 0)\) sein, da die Summe \(0 + 0\) gerade ist. Die dazu gehörende Äquivalenzklasse umfasst alle Tupel \((a, b)\), bei denen \(a + b\) gerade ist. Eine andere Klasse könnte durch das Tupel \((1, 1)\) repräsentiert werden, da \(1 + 1\) auch gerade ist, und würde alle Paare umfassen, deren Differenz ebenfalls gerade ist.

Hier liegt allerdings ein Missverständnis vor: Die gegebene Relation teilt \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) nicht in disjunkte Klassen, sondern definiert eine Eigenschaft für die Elemente von \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\). Für Äquivalenzklassen müsste die Definition anders formuliert sein oder es müsste eine andere Relation gewählt werden.

Beispiel 2

Für die Relation \(R := \{((a,b), (c,d)) \in (\mathbb{N} \times \mathbb{N})^2 | b-a = d-c \}\) werden Paare von natürlichen Zahlen durch ihre Differenz charakterisiert.

- Äquivalenzklassen: Diese Relation unterteilt Paare von \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\) basierend auf der Gleichheit ihrer Differenzen. Zwei Tupel \((a, b)\) und \((c, d)\) sind in der gleichen Klasse, wenn \(b - a = d - c\), weil dies bedeutet, dass sie dieselbe "Differenz" repräsentieren.

- Repräsentant: Ein Repräsentant könnte \((0, 1)\) sein, wobei die Klasse alle Paare \((a, b)\) enthält, bei denen \(b - a = 1\). Solche Klassen repräsentieren ganze Zahlen, wenn man sich die Differenzen als solche vorstellt.

Zusammenfassung

Äquivalenzrelationen und -klassen sind Konzepte, die eine Menge in disjunkte Teilmengen aufteilen, basierend auf einer Relation, die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität erfüllt. Bei der Bildung von Äquivalenzklassen steht jedes Element der Grundmenge in einer bestimmten Relation zu allen anderen Elementen seiner Klasse, wobei jede Klasse durch mindestens einen Repräsentanten charakterisiert wird.