Wie muss ich diese Aufgabe lösen?
lässt sich allgemein aus a^n− b^n der Faktor (a − b) ausklammern (hier ist n ∈ N mit n ≥ 4)?
Multiplizier mal folgendes aus:
∑ (k = 0 bis n) (a^(n - k)·b^k)·(a - b)
Du erhältst: a^(n + 1) - b^(n + 1)
Damit lässt sich umgekehrt auch immer (a - b) ausklammern.
(a-b)·(a³+a²b+ab²+b³) = a^4+a³b+a²b²+ab³-a³b-a²b²-ab³-b^4=a^4-b^4
So geht es entsprechend mit allen höheren Exponenten.
(a-b)·(an-1+an-2b+an-3b2+...+abn-2+bn-1)
=an + an-1b+an-3b2+... +abn-1
- an-1b - an-3b2 - ... - abn-1 - bn
= an - bn
Das weiß ich. Aber ich brauch die Verallgemeinerte Darstellung.. das kann man ja beliebig für n=4,5,6,7.. ausführen
Ich poste immer erst einmal meine Vorüberlegung und mache dann die Feinarbeit. :-)
Oder sollst du es mit vollständiger Induktion beweisen?
Ich hatte an folgendes gedacht :
a^n - b^n = (a-b) (a^n-1 +.......+ b^n-1)
Guck dir meinen Lösungsvorschlag noch einmal an. Dann siehst du, dass ich das genauso gemacht habe. Allerdings musst du noch die Terme die sich aufheben, in deiner Lösung ergänzen.
