Bestimmen Sie alle z in der Gauß'schen Zahlenebene. die folgende Gleichung lösen z\cdot\bar{z}+(3-4i)z+(3+4i)\bar{z}+9=0

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle \( z \in \mathbb{C}, \) die folgende Gleichung lösen:

\( z \cdot \bar{z}+(3-4 i) z+(3+4 i) \bar{z}+9=0 \)

Gestalt der Lösungsmenge in der Gauß'schen Zahlenebene.

Comments

Gauß'schen Zahlenebene.

Answer 1

Setze \(z=x+yi\) und \(\bar{z}=x-yi\), dann löse die Klammern auf.

\(z\cdot\bar{z}+(3-4i)z+(3+4i)\bar{z}+9=0\)

\((x+yi)(x-yi)+(3-4i)(x+yi)+(3+4i)(x-yi)+9=0\)

<  Zwischenschritte zum selbst rechnen  :-)  >

\(x^2+y^2+6x+8y+9=0\)

Mit desmos angucken:

Die Gleichung beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt bei \(z_M=-3-4i\) un dem Radius \(r=4\).

Comments

\(z=x+yi\) und \(\bar{z}=x+yi\)

Das solltest du wohl editieren.

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Stimmt. Das kommt bei Strg-C Strg-V raus. ;-)

Danke für den Hinweis!

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Also wenn ich ausklammern kommt bei mir 

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Hab vergessen das i^2 =-1 ist

Aber komme trotzdem nicht auf das ergbeniss

Ich hab da irgendwo her noch eine - 8ix

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Hat sich erledigt hab + und - vertauscht

Danke für die Hilfe

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Gern geschehen.

Noch ein Tipp: Bei diesen Aufgabentypen müssen alle \(i\) wegfallen.

Answer 2

Setze für z=a+b*i ein  und zquer=a-b*i

Dann hast du a^2 + b^2 + 6a + 8b + 9 = 0

a^2  + 6a +9  + b^2 + 8b + 16   = 0

<=>  ( a+3) ^2 + (b+4) ^2  = 0

und das gilt nur für a=-3 und b=-4

Also ist z=-3-4i die einzige Lösung.

Comments

Es handelt sich um eine Kreisgleichung.

In der 2. Zeile deiner Rechnung passt "+16" nicht.

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Danke, habe ich auf der anderen Seite vergessen.

Korrigiere ich.

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Es gibt unendlich viele Lösungen und -3-4i ist keine davon.