Bestimmen Sie alle z in der Gauß'schen Zahlenebene. die folgende Gleichung lösen z\cdot\bar{z}+(3-4i)z+(3+4i)\bar{z}+9=0

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle $z \in \mathbb{C},$ die folgende Gleichung lösen:

$z \cdot \bar{z}+(3-4 i) z+(3+4 i) \bar{z}+9=0$

Gestalt der Lösungsmenge in der Gauß'schen Zahlenebene.

Comments

Gauß'schen Zahlenebene.

Answer 1

Setze $z=x+yi$ und $\bar{z}=x-yi$, dann löse die Klammern auf.

$z\cdot\bar{z}+(3-4i)z+(3+4i)\bar{z}+9=0$

$(x+yi)(x-yi)+(3-4i)(x+yi)+(3+4i)(x-yi)+9=0$

<  Zwischenschritte zum selbst rechnen  :-)  >

$x^2+y^2+6x+8y+9=0$

Mit desmos angucken:

Die Gleichung beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt bei $z_M=-3-4i$ un dem Radius $r=4$.

Comments

$z=x+yi$ und $\bar{z}=x+yi$

Das solltest du wohl editieren.

---

Stimmt. Das kommt bei Strg-C Strg-V raus. ;-)

Danke für den Hinweis!

---

Also wenn ich ausklammern kommt bei mir 

---

Hab vergessen das i² =-1 ist

Aber komme trotzdem nicht auf das ergbeniss

Ich hab da irgendwo her noch eine - 8ix

---

Hat sich erledigt hab + und - vertauscht

Danke für die Hilfe

---

Gern geschehen.

Noch ein Tipp: Bei diesen Aufgabentypen müssen alle $i$ wegfallen.

Answer 2

Setze für z=a+b*i ein  und zquer=a-b*i

Dann hast du a² + b² + 6a + 8b + 9 = 0

a²  + 6a +9  + b² + 8b + 16   = 0

<=>  ( a+3) ² + (b+4) ²  = 0

und das gilt nur für a=-3 und b=-4

Also ist z=-3-4i die einzige Lösung.

Comments

Es handelt sich um eine Kreisgleichung.

In der 2. Zeile deiner Rechnung passt "+16" nicht.

---

Danke, habe ich auf der anderen Seite vergessen.

Korrigiere ich.

---

Es gibt unendlich viele Lösungen und -3-4i ist keine davon.