0 Daumen
1k Aufrufe

Sei ℝ der ℝ-Vektorraum der reellen Folgen. Für i∈ℕ bezeichne

                               ei := (...,0,1,0,...) ∈ ℝ

diejenigen Folge, deren i-ter Eintrag gleich 1 und alle anderen Einträge gleich 0 sind.


(a) Zeigen Sie, dass {e1, e2, . . .} linear unabhängig ist.

(b) Zeigen Sie, dass {e1, e2, . . .} kein Erzeugendensystem von ℝist,

Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen

\( \sum\limits_{i=0}^{\infty}{λi ei} \) =0 ⇒ 1. Zeile: λ0=0, 2. Zeile: λ1=0, .... ⇒ lt. Def.: {e0, e1, . . .} linear unabhängig

                                   λi ei

Avatar von 4,3 k

Allein Aufgabenteil b) sollte dir schon zeigen, dass das hier Quatsch ist.

Sieht deine Antwort etwa so aus, wie du dir das vorgestellt hast?

Was bedeutet die zweite Zeile?

+1 Daumen

(a) zu zeigen  : Seien für alle n∈ℕ   an aus ℝ mit

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n}*e_{n} = 0 $$

Dabei ist 0 die Folge, die aus lauter 0en besteht.

Also gilt für jedes n∈ℕ auch an*1 = 0

also sind alle an = 0 .

==>   {e1, e2, . . .} linear unabhängig.

Avatar von 287 k 🚀

(b) Die konstante Folge aus lauter 1en kann nicht als Linearkombination der

ei dargestellt werden, da in einer Linearkombination immer nur

endlich viele Koeffizienten ungleich 0 sein können.

0 Daumen

(a) Die Matrix aus den ei hat auf der Diagonalen nur 1en stehen, alle anderen Elemente sind 0. Die Determinante jeder abgeschnittenen Matrix ist also 1·1·1·1·1·1·...=1≠0. Also sind die Vektoren linear unabhängig.

Avatar von

Die Matrix ..

Wenn das als Beweis durchgehen soll, dann schreib wenigstens "Jede abgeschnittene Matrix.."

Dass das kein mathematischer Beweis ist, ist mir klar. Ich versuche nur im Rahmen meiner Möglichkeiten Denkanstöße zu geben.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community