Gleichung von Polarkoordinaten in x,y-Koordinaten

Question

Aufgabe:

Gleichung von Polarkoordinaten in x,y-Koordinaten

 1. r=4*(1+sin(θ))

 2. Θ=$\frac{π}{4}$

Problem/Ansatz:

Bei 1. Komme ich leider nicht weiter

Mein Schritte bis jetzt :      r = 4*(1+sin(θ))

                                         r = 4+4sin(θ)                                                       | r = $\sqrt{x^2+y^2}$

                                 x² +y² = (4+4sin(θ))²

                                            = 16+32sin(θ)+16sin² (θ)                                 | sin(θ)=$\frac{y}{r}$

                                            = 16+32$\frac{y}{r}$ +16$\frac{y^2}{r^2}$

und jetzt weiß ich nicht weiter ??

bei 2. θ=$\frac{π}{4}$

habe ich leider keinen richtigen Ansatz

                                      

                                        

Answer 1

Wenn man weiß, dass es sich bei $r=4(1+\sin(\theta))$ um eine Kardiode handelt, kann man aus der Gleichung aus Wiki, Vertauschen von $x$ und $y$ und Negieren von $y$ folgende implizite Relation zaubern:$$(x^2+y^2)^2 -8y(x^2+y^2)-16x^2=0$$die formale Herleitung könnte so laufen:$$\begin{aligned} r & =4(1+\sin(\theta)) &&\left|\,-4\sin(\theta) \right. \\ r-4\sin(\theta) & =4 &&\left|\,^2 \right. \\ r^2-8r\sin(\theta) + 16 \sin^2(\theta) & =16 &&\left|\, \sin^2(\theta) = 1- \cos^2(\theta)\right. \\ r^2-8r\sin(\theta) + 16 - 16 \cos^2(\theta) & =16 &&\left|\,-16 \right. \\ r^2-8r\sin(\theta)- 16 \cos^2(\theta) & =0 &&\left|\, \cdot r^2\right. \\ r^4-8(\underbrace{r\sin(\theta)}_{=y})r^2- 16 (\underbrace{r\cos(\theta)}_{=x})^2 & =0 &&\left|\, r^2=x^2+y^2\right. \\ (x^2+y^2)^2-8y(x^2+y^2)- 16 x^2 & =0 \\ \end{aligned}$$

(zur Kardioide siehe auch dieser Beitrag)

Die Aufgabe 2.) ist doch einfach! $r$ ist beliebig und $\theta$ hat immer den gleichen Wert von $\theta = \pi/4$ - also$$y=x$$oder auch formal:$$\begin{aligned} \theta &= \frac {\pi}4 && \left|\, \sin \right. \\ \sin(\theta) &= \sin\left( \frac{\pi}{4}\right) = \frac 12 \sqrt 2&& \left|\, \cdot r\right. \\ r \cdot \sin(\theta) &= \frac r2 \sqrt 2 && \left|\, ^2\right. \\ \left( r \cdot \sin (\theta)\right)^2 &= \frac 12 r^2 && \left|\, y= r\cdot \sin(\theta), \space r^2=x^2+y^2 \right.\\ y^2 &= \frac 12(x^2 +y^2) && \left|\,-\frac 12 y^2, \space \cdot 2, \space \sqrt{\space} \right. \\ y&=x\end{aligned}$$Gruß Werner

Comments

.. ich habe jetzt auch die Herleitung obiger Gleichung heraus gefunden - noch interessiert?

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Vielen Dank Werner-Salomon.

Ja, bitte :-)

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bitte schön! (s. Antwort)

Answer 2

Hallo

besser

x=r*cos(Θ), y=r*sin(Θ)

deshalb x= 4*(1+sin(θ))*cos(Θ)

              y= 4*(1+sin(θ))*sin(Θ)

b) r ist beliebig,  deshalb x=rcos(π/4) y=...

Gruß lul

Comments

ich habe das ehrlich gesagt nicht verstanden wie du auf x und y gekommen bist.

Das x = r*cos(θ) und y = r*sin(θ) ist ist klar nur, wie setze ich das dann in meinem Fall ein ? Ist mein Rechenweg total falsch ?

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Ist mein Rechenweg total falsch ?

Es kommt darauf an, was am Ende raus kommen soll. Wenn Du eine implizite Gleichung suchst, in der nur $x$ und $y$ vorkommen, dann ist Dein Weg richtig.

Wenn Du eine parametrisierte Kurve mit einem freien Parameter - hier z.B. $\theta$ - suchst, dann ist der Ansatz von lul der richtige.

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Vielen Dank Werner-Salomon

Answer 3

ich vermute mal du sollst es in kartesische Koordinaten umrechnen. Beide Aufgaben entsprechen Kurven.

1) es gilt x=rcos(theta) =

4*(1+sin(theta))*cos(theta)

y=rsin(theta)=4*(1+sin(theta))*sin(theta)

2) x=r*cos(theta)=r*cos(pi/4)=0

y=rsin(theta)=r*sin(pi/4)=r

Das ist eine Gerade.