Ist (an)n∈ℕ beschränkt, so ist die Folge (bn)n∈ℕ mit bn := max {ai | i·∈{1,..., n }} für n ∈ ℕ konvergent.

Question

Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage über reelle Folgen (a_n)_n∈ℕ

Ist (a_n)_n∈ℕ beschränkt, so ist die Folge (b_n)_n∈ℕ mit b_n := max {a_i | i·∈{1,..., n }} für n ∈ ℕ konvergent.

Answer 1

b_n = max {ai | i·∈{1,..., n }} ≤ b_n+1 = max {ai | i·∈{1,..., n,n+1 }}

also ist b_n monoton steigend.

Weil auch beschränkt (Nimm dieselbe Schranke wie a_n)    ⇒ konvergent