Komplexe Zahlen Berechnung

Question

habe Probleme bei folgenden Aufgaben:

Man berechne alle imaginären Zahlen z (Realteil von z ist 0), die die Beziehung
|z-(-4+j)| >= 5 erfüllen.

Man berechne und zeichne dann in der Gaußschen Zahlenebene den Bereich, für den
die komplexe Größe z der Ungleichung |z+3| >= 2 genügt.

Wäre dankbar für jede Antwort! :)

Answer 1

Hallo Tobi,

Man berechne alle imaginären Zahlen z (Realteil von z ist 0), die die Beziehung |z-(-4+j)| >= 5 erfüllen.

Ich empfehle bei sowas immer, sich eine geometrische Vorstellung von dem Problem zu machen. Somit es möglich ist - versteht sich! Hier geht das sehr schön:

https://jsfiddle.net/0aus3f81/

Oben habe ich Dir einen Punkt $z$ in die imaginäre Ebene gesetzt, den Du mit der Maus beliebig verschieben darfst. Der Term $z - (-4+j)$ ist der grüne Punkt, der sich ergibt, wenn man von $z$ $(-4+j)$ abzieht. Die Forderung ist nun, dass der Betrag - also die Länge der roten Strecke - größer oder gleich 5 sein soll$$|z - (-4+j)| \ge 5$$Wo kannst Du $z$ also hinschieben, ohne das der grüne Punkt in den (schwarzen) Kreis mit Radius 5 eintaucht?

Lösung: $z$ darf nicht innerhalb des grünen Kreises liegen.

Da der Realteil von $z$ gleich 0 sein soll, kommen nur Werte auf der imaginären Achse in Frage. Der grüne Kreis schneidet die imaginäre Achse bei $(0;4j)$ und $(0;-2j)$ - demnach ist die gesuchte Lösungsmenge $$\mathbb{L} = \{ z = bj: b \le -2j \space \lor \space 4j \le b\}$$

Wie rechnet man das jetzt aus? Bei Beträgen hilft oft quadrieren und $z$ kann man bereits auf $z=bj$ reduzieren: $$\begin{aligned} |bj - (-4 + j)|^2 &\ge 25 \\ (b-1)^2 + 4^2 & \ge 25 && \left|\, -16 \right. \\ (b-1)^2 &\ge 9 &&\left| \, \sqrt \space\right. \\ |b-1| & \ge 3 \end{aligned}$$jetzt kann man noch eine Fallunterscheidung machen, oder mit etwas Erfahrung auch sehen, dass $b \le -2$ oder $b \ge 4$ sein muss.

Man berechne und zeichne dann in der Gaußschen Zahlenebene den Bereich, für den die komplexe Größe z der Ungleichung |z+3| >= 2 genügt.

Mache Dir eine Zeichnung. Zeiche eine beliebigen Punkt $z$, addiere den Wert $(3;\, 0)$ - wie oben $(-4+j)$ - und überlege, wo $z$ sein muss, damit die Summe nicht in einen Kreis um den Ursprung mit Radius 2 hinein fällt. Falls Du nicht klar kommst, so frage nach.

Gruß Werner

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Vielen dank, Werner!