Untergruppenkriterium Beweis

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Gruppe (G,*) und die Teilmenge M⊆G

Zeigen Sie, dass (H(M),*) also die von M erzeugte Untetgruppe tatsächlich eine Untergruppe ist.
Problem/Ansatz:

Meine Lösung:

H(M) ist definiert als der Schnitt aller Untergruppen von G,
die M enthalten. Das heißt, dass diese kleinste Untergruppe 
auch die Gruppenaxiome erfüllen muss.
Wählt man also ×,y ∈ H(M) so ist deren Verknüpfung
× * y  ∈ H(M) da x,y ∈ H(M) bedeutet, dass x, y im Schnitt
aller Untergruppen von G sind, die ihrerseits abgeschlossen ist
Somit folgt auch, dass x*y^(-1) ∈ H(M) ist, wodurch das Untergruppenkriterium gezeigt ist.

Ist das ein mathematisch rigoroser Beweis? Kann man den auch formaler führen?

Mit freundlichen Grüßen

Pascal

Answer 1

Müsste man nicht auch sagen: ZU jedem y ∈ H(M) existiert auch im Schnitt aller Untergruppen ein y^(-1),

y in jeder Untergruppe ist, also auch das Inverse von y in jeder Untergruppe und somit auch im

Schnitt aller.

Ansonsten finde ich es ganz OK.

Answer 2

Das heißt, dass diese kleinste Untergruppe auch die Gruppenaxiome erfüllen muss.

Nein, das heißt es nicht. Das sollst du zeigen.

Somit folgt auch, dass x*y^(-1) ∈ H(M) ist,

Mir ist nicht ganz klar, woraus das folgen sollte.

Also eigentlich ist mir schon klar, woraus das folgen sollte. Du solltest es aber vielleicht etwas deutlicher machen.

Seien x, y ∈ H(M). Dann sind x und y in jeder Untergruppe, die M enthalten. Also ist auch x*y in jeder Untergruppe, die M enthält. Somit ist x*y im Schnitt aller Untergruppen, die M enthalten. Dieser Schnitt ist H(M), also ist x*y ∈ H(M).

Nun ist das ja nicht Bestandteil das Untergruppenkriteriums, also nicht wirklich hilfreich. Die Frage, warum auch x*y^-1 ∈ H(M) ist, ist daher noch offen.

Comments

Aber wäre der Beweis korrekt, wenn ich noch den Hinweis von @mathef ergänze?

Wie kann ich den Beweis vervollständigen?

MFG

Pascal

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Aber wäre der Beweis korrekt, wenn ich noch den Hinweis von @mathef ergänze?

Ja.