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Aufgabe:

Ich soll eine explizite Bijektion für

A = {3*a: a ∈ ℤ} und B = {3*b+1: b∈ ℤ} ∪ {3*c+2: c ∈ ℤ} angeben.

Problem/Ansatz:


Es scheitert bei mir irgendwie schon am Ansatz.

Die Beispiele die wir davor gerechnet haben waren eher mehr

A = gerade Zahlen ∈ ℤ

B = ungerade Zahlen ∈ ℤ

und als funktion hab ich dann sowas wie f(x) = x-1 angegeben


Aber in dem Fall tu ich mir bissl schwer weil ich für B zwei Bedingungen hab.


mfg, &

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Beste Antwort

Zahlen aus A sind durch 3 teilbar.

Zahlen aus A haben bei Division durch 6 entweder den Rest 0 oder den Rest 3.

Die Mengen {3*b+1: b∈ ℤ} und {3*c+2: c ∈ ℤ} sind disjunkt.

\( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{3}+1& \text{falls } x\equiv 0 \mod 6 \\ \frac{x}{3}+2 &\text{falls } x \equiv 3 \mod 6 \end{cases} \)

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Was genau sagt diese Funktion jetzt aus?

Für ein x∈A gibt es die funktion (x/3)+1 falls x durch 6 geteilt wird und 0 Rest hat? und vice versa für x durch 6 mit 3 Rest?

Die Funktion sagt zum Beispiel folgendes.

Der Funktionwert von 9 ist 9/3 + 2 = 5, weil 9 ≡ 3  mod 6 ist.

Der Funktionwert von 12 ist 12/3 + 1 = 5, weil 12 ≡ 0  mod 6 ist.

Ich sehe gerade, dass die Funktion überhaupt nicht bijektiv ist.

Ich sehe gerade, dass die Funktion überhaupt nicht bijektiv ist.

Das kann man aber reparieren.

Danke erstmal!! wie würde man diese abbildung denn jz bijektiv machen?

hab schon man differenziert zwischen x gerade und x ungerade


für f(x) = x/2 - 1 für gerade x

und (x-1)/2 für ungerade x


wär das richtigv

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A = {3*a: a ∈ ℤ} und B = {3*b+1: b∈ ℤ} ∪ {3*c+2: c ∈ ℤ}

Prüfe mal folgenden Vorschlag für f: 

Falls a = 2n, dann f(a):= 3*(a/2) + 1

Falls a = 2n+1, dann f(a):= 3*((a-1)/2) + 2

Dabei ist n eine beliebige ganze Zahl.

Gut möglich, dass du noch etwas anpassen musst in der Nähe von 0 oder so, falls mein Vorschlag passt. 

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