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Aufgabe:

Konvergenz dieser Reihe berechnen:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^2+2n+5}{n!}} \)


Ich hatte etwas mit Quotientenkriterium gelesen, aber wir hatten das noch nicht in der Vorlesung und ich weiß deswegen nicht, ob ich das hierbei brauche oder wie genau man das anwendet.

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Aloha :)

Nach dem Quotientenkriterium musst du zeigen, dass \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) kleiner gleich einer festen Zahl \(c\) ist und diese feste Zahl \(c\) muss \(<1\) sein. Es reicht nicht zu zeigen, dass \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1\) gilt.$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+1)^2+2(n+1)+5}{(n+1)!}}{\frac{n^2+2n+5}{n!}}=\frac{(n+1)^2+2(n+1)+5}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^2+2n+5}$$$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{(n+1)^2+2(n+1)+5}{n+1}\cdot\frac{1}{n^2+2n+5}$$$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{(n+1)+2+\frac{5}{n+1}}{1}\cdot\frac{1}{n^2+2n+5}=\frac{n+3+\frac{5}{n+1}}{n^2+2n+5}$$$$\phantom{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{n}{n^2+2n+5}+\frac{3}{n^2+2n+5}+\frac{5}{(n+1)(n^2+2n+5)}$$Du kannst nun erkennen, dass mit zunehmendem \(n\) in jedem Bruch der Nenner schneller wächst als der Zähler, das heißt jeder einzelne Bruch wird mit wachsendem \(n\) kleiner. Da die Folge bei \(n=1\) anfängt, können wir eine obere Schranke angeben, indem wir \(n=1\) einsetzen:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}=\frac{2+6+5}{16}=\frac{13}{16}<1$$Damit ist das Quotientenkriterium erfüllt, die Summe konvergiert.

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Zum Quotientenkriterium gibt es (unter diesem Suchwort) viel im Internet.

Auch hier:

Schon für n=15 ergibt sich 19.464536456235253496 wobei sich die ersten 18 Stellen hinter dem Komma für n>15 nicht mehr ändern.

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Du meinst wohl 9.

Tipp :  Studiere Bellsche Zahlen.

Nein ich meine: 19.464536456235253496

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